Enunciado

Obtenha uma equação da superfície esférica, conhecendo as extremidades de um diâmetro: A = 2 , - 3 , - 5 e B = 4,1 , - 3 .

Passo 1

O segredo aqui é lembrar da definição de um diâmetro.

Um diâmetro é um segmento de reta que passa pelo centro da esfera e toca a superfície em dois pontos.

Vamos fazer um desenho para entender melhor:

Beleza, esse é um exemplo de um diâmetro.

Passo 2

O enunciado deu as coordenadas de dois pontos na superfície:

B = 4,1 , - 3

A = 2 , - 3 , - 5

Pelo desenho da pra ver que o centro C é o ponto médio P M entre A e B :

C = P M = 1 2 A + B

C = 1 2 2 , - 3 , - 5 + 4,1 , - 3

C = 1 2 6 , - 2 , - 8 = 3 , - 1 , - 4

Ok, então ficamos assim:

Passo 3

Como podemos calcular o raio r da esfera? É só fazer a distância C A - ou C B - .

Então vamos fazer a distância C A - :

r = C A -

r = 2 - 3 2 + - 3 - - 1 2 + - 5 - - 4 2

r = - 1 2 + - 2 2 + - 1 2

r = 6

Beleza, agora que já temos a posição do centro e o raio, é só lembrar da forma geral da equação da esfera.

Se a esfera tem raio r e centro em x 0 , y 0 , z 0 , a equação é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Então, no nosso caso:

x - 3 2 + y - - 1 2 + z - - 4 2 = 6 2

x - 3 2 + y + 1 2 + z + 4 2 = 6

Pronto! Essa é a equação que estávamos procurando.

Resposta

A equação da superfície esférica é x - 3 2 + y + 1 2 + z + 4 2 = 6 .

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Determine o diâmetro da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 y = 0 que é perpendicular ao plano π : x - y - 2 = 0 .
Sejam A = x 1 , y 1 , z 1 e B = x 2 , y 2 , z 2 as extremidades de um diâmetro da superfície esférica S e P um ponto distinto de A e B . Prove que:(a) x - x 1 x - x 2 + y - y 1 y - y 2 + z - z 1 z - z
Calcule a distância de P = 1 , - 1,3 à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 10 z - 62 = 0 (isto é, a menor das distâncias de P aos pontos de S ).
Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.(a) Lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que M X → e N X → sejam ortogonais, sendo M = 1,1 , 0 , N = 0,1