Enunciado

O paralelepípedo retângulo de dimensões 3 ,   4   e   5 está referido ao sistema O x y z , conforme a figura 1.66. Considerando um segundo sistema chamado O ' x ' y ' z ' , no qual O x / / O ' x ' , O y / / O ' y ' e O z / / O ' z ' , e sendo O ' um dos vértices do paralelepípedo de acordo com a figura, determinar as coordenadas dos pontos O ,   A ,   B ,   C ,   D e O ' em relação aos sistemas dados.

Passo 1

Então pessoal, a única coisa que precisamos utilizar aqui para resolver essa questão é a noção de perspectiva, uma vez que temos uma figura 3 D . Precisamos descobrir as coordenadas O ,   A ,   B ,   C ,   D e O ' em relação ao sistema O x y z e, em seguida, em relação ao sistema O ' x ' y ' z ' .

Para o sistema O x y z temos:

Para o ponto O :

Não temos muito o que discutir sobre esse ponto pois é a origem do nosso sistema. Sendo assim:

O 0 ,   0 ,   0

Para o ponto A :

Em x temos 3 unidades, em y temos 0 unidades e em z temos 0 unidades, certo? Logo:

A 3 ,   0 ,   0

Para o ponto B :

Em x temos 3 unidades, em y temos 4 unidades e em z temos 0 unidades. Logo:

B 3 ,   4 ,   0

Para o ponto C :

Em x temos 0 unidades, em y temos 4 unidades e em z temos 5 unidades. Logo:

C 0 ,   4 ,   5

Para o ponto D :

Em x temos 3 unidades, em y temos 0 unidades e em z temos 5 unidades. Logo:

D 3 ,   0 ,   5

Por fim, para o ponto O ' :

Em x temos 3 unidades, em y temos 4 unidades e em z temos 5 unidades. Logo:

O ' 3 ,   4 ,   5

Show! Para o primeiro sistema não foi tão difícil, agora vamos para o segundo!

Passo 2

Para o sistema O ' x ' y ' z ' temos:

Para o ponto O :

Diferentemente do que vimos para o primeiro sistema, para esse novo sistema temos que O está no octante negativo dos eixos. Sendo assim, temos que:

O - 3 ,   - 4 ,   - 5

Para o ponto A :

Em x temos 0 unidades, em y temos - 4 unidades e em z temos - 5 unidades. Logo:

A 0 ,   - 4 ,   - 5

Para o ponto B :

Em x temos 0 unidades, em y temos 0 unidades e em z temos - 5 unidades. Logo:

B 0 ,   0 ,   - 5

Para o ponto C :

Em x temos - 3 unidades, em y temos 0 unidades e em z temos 0 unidades. Logo:

C - 3 ,   0 ,   0

Para o ponto D :

Em x temos 0 unidades, em y temos - 4 unidades e em z temos 0 unidades. Logo:

D 0 ,   - 4 ,   0

Para o ponto O ' :

Como é nossa nova origem, então:

O ' 0 ,   0 ,   0

E essas são nossas coordenadas nos dois sistemas de referência, galera!

Resposta

Para o sistema O x y z :

O 0 ,   0 ,   0 ; A 3 ,   0 ,   0 ; B 3 ,   4 ,   0 ; C 0 ,   4 ,   5 ; D 3 ,   0 ,   5 e O ' 3 ,   4 ,   5

Para o sistema O ' x ' y ' z ' :

O - 3 ,   - 4 ,   - 5 ; A 0 ,   - 4 ,   - 5 ; B 0 ,   0 ,   - 5 ; C - 3 ,   0 ,   0 ; D 0 ,   - 4 ,   0 e O ' 0 ,   0 ,   0

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