Enunciado

Determinar o valor próprio e o vetor próprio da seguinte transformação linear:

T :   R 3 → R 3 ,   T x ,   y , z = ( x + y + z ,   2 y + z ,   2 y + 3 z )

Passo 1

Bora lá! Pra calcular vetores e valores próprios de uma transformação, o primeiro passo é escrever a matriz da forma canônica. A gente monta essa matriz pegando as componentes da transformação e botando nas linhas da matriz, com os coeficientes de x , y e z nas colunas. A matriz da nossa transformação é:

M = 1 1 1 0 2 1 0 2 3

Em seguida, a gente usa o fato de que M v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

M v = λ v

M - λ I v = 0

det ⁡ M - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ M - λ I = 1 - λ 1 1 0 2 - λ 1 0 2 3 - λ

1 - λ 1 1 0 2 - λ 1 0 2 3 - λ = 0

Expandindo o determinante pela primeira coluna:

1 - λ 2 - λ 1 2 3 - λ = 0

1 - λ 2 - λ 3 - λ - 2 = 0

1 - λ λ 2 - 5 λ + 6 - 2 = 0

1 - λ λ 2 - 5 λ + 4 = 0

1 - λ λ - 1 λ - 4 = 0

Nós temos então três valores próprios: λ 1 = λ 2 = 1 e λ 3 = 4 .

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação M - λ I v = 0 . Primeiro vamos ver λ 1 = λ 2 = 1 :

M - 1 I v = 1 - 1 1 1 0 2 - 1 1 0 2 3 - 1 x y z = 0 0 0

0 1 1 0 1 1 0 2 2 x y z = 0 0 0

Multiplicando vamos obter sempre a mesma equação:

y + z = 0

z = - y

Então, os vetores v = x , y ,   - y são os vetores próprios associados a λ = 1 . Agora λ = 4 :

M - 4 I v = 1 - 4 1 1 0 2 - 4 1 0 2 3 - 4 x y z = 0 0 0

- 3 1 1 0 - 2 1 0 2 - 1 x y z = 0 0 0

Isso vai nos dar um sisteminha:

- 3 x + y + z = 0 - 2 y + z = 0 2 y - z = 0

As duas últimas são equivalentes, e querem dizer z = 2 y . Substituindo isso na primeira:

- 3 x + y + 2 y = 0

x = y

Por isso, os vetores próprios de λ = 4 vão ser da forma v = ( y ,   y ,   2 y ) .

Resposta

λ 1 = λ 2 = 1 : v = x ,   y ,   - y

λ 3 = 4 : v = ( y ,   y ,   2 y )

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