Enunciado

Um paralelepípedo é determinado pelos vetores u → = 3 , - 1,4 ,   v → = 2,0 , 1     e     w → = ( - 2,1 , 5 ) . Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u →   e   v → .

Passo 1

E aí, tudo joia?

O volume do paralelepípedo é calculado pelo produto misto entre os vetores.

Vamos começar por aí então...

Passo 2

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t 3 - 1 4 2 0 1 - 2 1 5 = 3 0 1 1 5 + 1 2 1 - 2 5 + 4 2 0 - 2 1

= 3 - 1 + 1 10 + 2 + 4 ( 2 - 0 )

= - 3 + 12 + 8

= 17

Beleza! O volume então é 17. Vamos para a segunda parte do problema...

Passo 3

A gente quer achar a altura agora.

Bom, a fórmula do volume do paralelepípedo é:

V = á r e a   d a   b a s e × a l t u r a

O volume a gente já tem, então se a gente achar a área da base, a gente acha a altura!

Como a área é formada por u →   e   v → , temos que a área é o produto entre esses vetores... vamos lá então:

d e t i → j → k → 3 - 1 4 2 0 1 = i → - 1 4 0 1 - j → 3 4 2 1 + k → 3 - 1 2 0

= i → - 1 - 0 - j →   3 - 8 + k → ( 0 + 2 )

= - i → + 5 j → + 2 k →

A área da base é o módulo desse vetor:

A = - 1 2 + 5 2 + 2 2 = 30

Passo 4

Voltando pra relação do volume agora, temos:

V = á r e a   d a   b a s e × a l t u r a

17 = 30 × a l t u r a

a l t u r a = 17 30  

Prontinho! Encerramos por aqui😉

Resposta

V = 17

h = 17 30

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a área do paralelogramo com vértices em A - 2,1 ,B 0,4 ,C 4,2 ,D ( 2 , - 1 ) .
34. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores a ,b ,c : a = i ^ + j ^ + k ^ b = i ^ - j ^ + k ^ c = - i ^ + j ^ + k ^
Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P ,Q ,R e calcule a área do trângulo P Q R . P 0 , - 2,0 Q 4,1 , - 2 R 5,3 , 1
Utilize o produto misto para verificar se os vetores são coplanares: u = i + 5 j - 2 k v = 3 i - j w = 5 i + 9 j - 4 k
Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes P Q ,P ReP S P ( 3,0 , 1 ) Q ( - 1,2 , 5 ) R ( 5,1 , - 1 ) S ( 0,4 , 2 )