Enunciado

Determine a equação geral do plano que contém os seguintes pares de retas:

r : x = - 3 + t y = - t z = 4       e     s : {   x + 2 2 = y - 1 - 2 ; z = 0

Passo 1

E aí tudo joia?

Precisamos encontrar um vetor normal ao plano pra escrever a equação geral dele.

O plano contém essas duas retas aí!

Vamos pegar dois pontos da primeira reta:

A - 3,0 , 4   e     B ( - 2 , - 1,4 )

E mais um da segunda reta:

C ( - 2,1 , 0 )

Passo 2

Agora a gente vai fazer os vetores A B → e A C → :

A B → = ( 1 ,   - 1,0 )

A C → = ( 1 ,   1 , - 4 )

Esses dois vetores são paralelos ao plano, precisamos de um vetor normal!

Passo 3

Pra achar um vetor normal, a gente vai fazer o produto vetorial entre eles:

det ⁡ i → j → k → 1 - 1 0 1 1 - 4 = i → - 1 0 1 - 4 - j → 1 0 1 - 4 + k → 1 - 1 1 1

= 4 i → + 4 j → + 2 k →

Temos um vetor normal então que é o ( 4,4 , 2 ) .

Nosso plano então é da forma:

4 x + 4 y + 2 z + d = 0

Passo 4

Vamos achar esse d agora pegando um ponto qualquer das retas e jogando nessa equação do plano.

A ( - 3,0 , 4 )

4 - 3 + 4 0 + 2 4 + d = 0

- 12 + 8 + d = 0

d = 4

Nosso plano então é:

4 x + 4 y + 2 z + 4 = 0

2 x + 2 y + z + 2 = 0

E prontinho! Finalmente encontramos nosso plano😉

Resposta

2 x + 2 y + z + 2 = 0

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