Enunciado

Determine a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:

A 3 , - 1,2   e     r : x = t y = 2 - t z = 3 + 2 t

Passo 1

E aí tudo joia?

Precisamos encontrar um vetor normal ao plano pra escrever a equação geral dele.

Bom, o vetor diretor da reta r é: ( 1 , - 1,2 ) . Precisamos de mais um vetor. Vamos pegar o ponto B ( 0,2 , 3 ) da reta e fazer um vetor com o ponto A :

A B → = ( - 3,3 , 1 )

Agora temos dois vetores paralelos ao plano. Vamos seguir...

Passo 2

Pra achar um vetor normal, a gente vai fazer o produto vetorial entre os vetores paralelos:

det ⁡ i → j → k → 1 - 1 2 - 3 3 1 = i → - 1 2 3 1 - j → 1 2 - 3 1 + k → 1 - 1 - 3 3

= - 7 i → - 7 j → + 0 k →

Temos um vetor normal então que é o ( - 7 , - 7,0 ) .

Nosso plano então é da forma:

- 7 x - 7 y + d = 0

Passo 3

Vamos achar esse d agora jogando o ponto A nessa expressão do plano:

- 7 3 - 7 - 1 + d = 0

- 21 + 7 + d = 0

d = 14

O nosso plano então é:

- 7 x - 7 y + 14 = 0

x + y - 2 = 0

E prontinho! Finalmente encontramos nosso plano😉

Resposta

x + y - 2 = 0

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