Enunciado

Determine a equação geral do plano:

O plano que passa pelo ponto A - 3,1 , - 2 e   B ( - 1,2 , 1 ) e é paralelo ao vetor v → = 2 i → - 3 k → .

Passo 1

E aí tudo joia?

A gente já tem um vetor paralelo, o ( 2 ,   0 , - 3 ) .

Então a gente precisa de outro vetor paralelo, que a gente pode tirar daqueles pontos ali:

A B → = ( 2 ,   1,3 )

Beleza, agora temos dois vetores paralelos!

Só que a gente sabe que pra escrever a equação geral do plano, precisamos de um vetor normal! Pra isso a gente faz o produto vetorial...

Passo 2

Montando o produto vetorial:

det ⁡ i → j → k → 2 0 - 3 2 1 3 = i → 0 - 3 1 3 - j → 2 - 3 2 3 + k → 2 0 2 1

= 3 i → - 12 j → + 2 k →

Temos um vetor normal então (uhuull!) que é o ( 3 , - 12,2 ) .

Nosso plano então é da forma:

3 x - 12 y + 2 z + d = 0

Passo 3

Vamos achar esse d agora usando um dos pontos que a gente tem:

A ( - 3,1 , - 2 )

3 - 3 - 12 1 + 2 - 2 + d = 0

- 9 - 12 - 4 + d = 0

d = 25

O nosso plano então é:

3 x - 12 y + 2 z + 25 = 0

E prontinho! 😉

Resposta

3 x - 12 y + 2 z + 25 = 0

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