Enunciado

Determine a equação do plano.

32. O plano que passa pela origem e pelos pontos 2 , - 4,6 ,   ( 5 , 1 , 3 )

Passo 1

Bom, a equação geral de um plano pode ser dada por a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0 , onde x 0 , y 0 , z 0 é um ponto nesse plano e ( a , b , c ) é o vetor normal ao plano.

A questão já nos deu três pontos pelos quais o plano passa, então podemos escolher qualquer um deles. Vamos pegar 0,0 , 0 .

Como esses três pontos pertencem ao plano, os vetores ligando dois deles também pertencem ao plano. O vetor de ( 0 , 0 , 0 ) a ( 2 , - 4,6 ) é ( 2 , - 4,6 ) . E o vetor de ( 0,0 , 0 ) a ( 5 , 1 , 3 ) é 5 , 1 , 3 .

Agora para encontrar um vetor normal ao plano, podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:

2 , - 4 , 6 x 5 , 1 , 3 = i j k 2 - 4 6 5 1 3 = ( - 1 8,24 , 22 )

Pronto! Agora temos o vetor normal e um ponto, falta só colocar na fórmula:

- 18 x - 0 + 24 y - 0 + 22 z - 0 = 0

- 18 x + 24 y + 22 z = 0

- 9 x + 12 y + 11 z = 0

Resposta

- 9 x + 12 y + 11 z = 0

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