Enunciado

Determine se os polinômios dados geram P_2 .

p_1 = 1 - x + 2 x^2 , p_2 = 3 + x ,

p_3 = 5 - x + 4 x^2 , p_4 = - 2 - 2 x + 2 x^2

Passo 1

Show de bola então pessoal, sabemos que os polinômios de P_2 são da forma a + b x + c x^2 , que podem ser escrito como ( a , b , c ) , então na verdade P_2 algebricamente é similar a R^3 , logo precisamos de 3 vetores na base, ou 3 polinômios, para gerarmos P_2 . Portanto só precisamos descobrir se temos 3 polinômios independentes nesse conjunto de 4.

Passo 2

Então passando esses polinômios pra forma vetorial temos

p_1 = 1 - x + 2 x^2 = ( 1 , - 1 , 2 )

p_2 = 3 + x = ( 3 , 1 , 0 )

p_3 = 5 - x + 4 x^2 = ( 5 , - 1 , 4 )

p_4 = - 2 - 2 x + 2 x^2 = ( - 2 , - 2 , 2 )

E pra descobrirmos se eles são independentes ou não, é só a gente montar uma matriz com eles e escalonar.

Passo 3

Escalonando

[[[[[1,-,1,2],[3,1,0],[5,-,1,4],[-,2,-,2,2]]]]] => [[],[L_2,=,L_2,-,3,L_1],[,L_3,=,L_3,-,5,L_1],[L_4,=,L_4,+,2,L_1]] = [[[[[1,-,1,2],[0,4,-,6],[0,4,-,6],[0,-,4,6]]]]] => [[],[],[,L_3,=,L_3,-,L_2],[,L_4,=,L_4,+,L_2]] = [[[[[1,-,1,2],[0,4,-,6],[0,0,0],[0,0,0]]]]]

Logo, temos 2 linhas independentes, isso quer que também temos 2 polinômios independentes, então não, o conjunto de polinômios dados, não geram P_2 , belezinha? ;)

Resposta

Não, o conjunto não gera P_2 .

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