Enunciado

Determine se T 1   ∘ T 2 =   T 2 ∘   T 1 .

T 1   :   R 2   →   R 2 é a projeção ortogonal sobre o eixo x e T 2   :   R 2   →   R 2 é a rotação por um ângulo θ

Passo 1

A matriz que representa a projeção ortogonal sobre o eixo x é:

T 1 = 1 0 0 0

A matriz que representa a projeção ortogonal sobre o eixo y é:

T 2 = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos fazer o produto interno obedecem ao critério apresentado

T 1 ∘ T 2 = 1 0 0 0 ⋅ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

= cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 0

T 1 ∘ T 2 = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 0

e

T 1 ∘ T 2 = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ 1 0 0 0

= cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ 0

T 1 ∘ T 2 = cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ 0

Não, T 1   ∘ T 2 ≠   T 2 ∘   T 1 .

Resposta

Não

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A partir da Fórmula ( 15 ) , obtenha as matrizes canônicas das rotações em torno dos eixos x de R 3 .
A partir da Fórmula ( 15 ) , obtenha as matrizes canônicas das rotações em torno dos eixos y de R 3 .
Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R 3 por um ângulo de - 60 ° em torno do eixo z .
Use a multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor ( - 2 ,1 ,2 ) se for girado por um ângulo de θ = - 30 ° em torno do eixo x .
A partir da Fórmula ( 15 ) , obtenha as matrizes canônicas das rotações em torno dos eixos z de R 3 .