Enunciado

Determine a , b e K → para que C   =   ( 1 3   ( 1 , - 1,1 ) ;   ( 0 , a , b ) ;   K → ) seja uma base ortonormal positiva.

Passo 1

Ok, galera, vamos começar relembrando a definição de base positiva: base positiva é aquela na qual os produtos vetoriais entre dois vetores da base devem ter como resultado o terceiro vetor, com sinal positivo. Acredite se quiser, é só isso mesmo! Então, vamos calcular os produtos vetorial dos vetores ( 1 3   ( 1 , - 1,1 ) ;   ( 0 , a , b ) ;   K → ) , com K → = ( k , l , m ) .

O produto interno do primeiro vetor de base com o segundo deve resultar no terceiro com sinal positivo:

- 1 3   ( a + b ) = k

- 1 3   b = l

1 3   a = m

Vamos multiplicar a primeira equação por k (a razão para isso vai ficar clara daqui a pouco):

- 1 3   ( a + b ) k = k 2

Ok, vamos deixar esse resultado reservado por enquanto. O produto vetorial do segundo e terceiro vetores deve resultar no primeiro com sinal positivo:

Esse produto vetorial gerou as condições:

a m - b l = 1 3  

- b k = 1 3  

- a k = 1 3  

Vamos somar a segunda e a terceira equações:

- ( a + b ) k = 2 3   ⇒ - 1 3   ( a + b ) k = 2 3  

Agora, lembra aquele resultado que nós deixamos reservado? Vamos comparar com o resultado acima

- 1 3   ( a + b ) k = k 2

- 1 3   ( a + b ) k = 2 3  

⇒ k 2 = 2 3   ⇒ k = ± 2 3   = ± 2 6

Agora que sabemos o valor de k , com exceção de um sinal que ainda deve ser determinado, podemos obter a e b :

a = b = - 1 3 k   = ∓ 1 3   6 2 = ∓ 2 2

Agora podemos obter l e m :

l = - 1 3   b = ± 1 3   2 2 = ± 1 6 = k 2

m = 1 3   a = ∓ 1 6 = - k 2

Passo 2

Tá, mas ainda temos que determinar o sinal de todos as incógnitas. Vamos calcular o último produto vetorial, que é do terceiro vetor com o primeiro, resultado no segundo:

⇒ - 3 2   k j ^ - 3 2   k k ^ = ( 0 , ∓ 2 2 , ∓ 2 2 )

Que basicamente resulta em k = ± 2 3   = ± 2 6 . Vamos retornar a primeira condição obtida pelo determinante da base:

a ( m - k ) - b ( l + k ) > 0

⇒ - 1 3 k   ( - k 2 - k ) + 1 3 k   ( k 2 + k ) > 0

⇒ 1 3 k   ( 3 2 k ) + 1 3 k   ( 3 2 k ) > 0 ⇒ 3 > 0

É…, essa opção não é muito conclusiva. Bom, pelo menos vimos que a base será positiva independentemente do sinal de k , então podemos escolher k = - 2 6 . Assim, ficamos com

a = b = 2 2

  K → = 1 6 ( - 2 , - 1,1 )

Resposta

a = b = 2 2

  K → = 1 6 ( - 2 , - 1,1 )

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