Enunciado

Determine os vetores unitários u → = x , y ,   z B tais que a projeção ortogonal de u → sobre k → seja   k → / 2 e a medida angular entre v → = x ,   y ,   0 B e i → seja π / 6 radianos.

Passo 1

Bom, aqui nós queremos achar um vetor u → = ( x ,   y ,   z ) que respeite algumas condições. A primeira é que a projeção ortogonal de u → sobre k → seja   k → / 2 . Para isso, lembremos a fórmula:

p r o j v →   u → = u → ⋅ v → v → 2   v →

Assim,

p r o j k →   u → = x ,   y ,   z ⋅ ( 0 ,   0 ,   1 ) 1 2   k → = z   k → = 1 2   k →

Portanto,

z = 1 2

Passo 2

A segunda condição é que a medida angular entre v → = x ,   y ,   z B e i → seja π / 6 radianos. Sabemos que o ângulo entre dois vetores é dado por

cos ⁡ θ = v → ⋅ i → v → i →

Assim,

cos ⁡ π 6 = x ,   y ,   0 ⋅ ( 1 ,   0 ,   0 ) x 2 + y 2 ⋅ 1 = 3 2 = x x 2 + y 2

Elevando a equação ao quadrado:

3 4 = x 2 x 2 + y 2

Passo 3

A última informação do enunciado que podemos usar é que u → deve ser unitário:

x 2 + y 2 + z 2 = 1 ⇒ x 2 + y 2 + 1 2 2 = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 1 - 1 4 = 3 4

Portanto, substituindo na equação do passo 2:

3 4 = x 2 x 2 + y 2 ⇒ 3 4 = x 2 3 / 4 ⇒ x 2 = 3 4 2

Assim,

x = ± 3 4

Desta forma,

x 2 + y 2 = 3 4 ⇒ 3 4 2 + y 2 = 3 4 ⇒ 9 16 + y 2 = 3 4 ⇒ y 2 = 12 16 - 9 16 = 3 16 ⇒ y = ± 3 4

Obtemos assim quatro possíveis respostas:

u → = - 3 4 ,   - 3 4 , 1 2 ,             u → = 3 4 ,   - 3 4 , 1 2 ,               u → = - 3 4 ,   3 4 , 1 2 ,             u → = 3 4 ,   3 4 , 1 2

Resposta

u → = - 3 4 ,   - 3 4 , 1 2 ,             u → = 3 4 ,   - 3 4 , 1 2 ,               u → = - 3 4 ,   3 4 , 1 2 ,             u → = 3 4 ,   3 4 , 1 2

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