Enunciado

Disputando uma partida de sinuca com seus amigos, Paulinho viu-se diante da situação ilustrada na Figura 19-3 (a), em que o ponto B representa a bola branca, P ,a preta, e R a rosa (esta era a bola da vez). Para sair da sinuca, Paulinho decidiu usar a tabela M N e acertou a bola rosa sem tocar na preta (Figura 19-3 (b)).

  1. Supondo que M = - 2 , - 3,4 , N = 5,4 , - 3 , B = 12,5 , 20 e R = 9,5 , 8 , calcule as coordenadas do ponto T .
  2. Substitua os dados do item (a) por M = 2,2 , 0 , N = 6,6 , 8 , B = 6,6 , - 1 e R = 6,6 , 7 2 e veja o que acontece.

Passo 1

As imagens da Figura 19-3 são essências para percebemos o que temos que fazer. Temos que descobrir um ponto T , que é interno ao segmento M N , tal que os segmentos B T e R T , em relação ao segmento M N , sejam congruentes.

Em outras palavras, a medida angular entre os vetores B T → e M N → é o mesmo que R T → e M N → . Esta é a relação que precisaremos utilizar.

Mas bom, para podermos chegar ao ponto de usar a relação de medida angular, precisamos determinar alguns pontos antes. Primeiro, vamos determinar a reta que passa por M e tem vetor diretor M N → . Ela será:

r : X = M + λ M N →

r : X = - 2 , - 3,4 + λ 5,4 , - 3 - - 2 , - 3,4

r : X = - 2 , - 3,4 + λ 7,7 , - 7

Portanto, como o ponto T é interior a r , temos um valor de λ , sendo 0 < λ < 1 e λ ≠ 0,5 (pois é o lugar de uma caçapa, tal que T = - 2 + 7 λ , - 3 + 7 λ , 4 - 7 λ .

Para finalizar a etapa inicial, vamos calcular os vetores B T → e R T → . Eles são:

B T → = T - B = - 2 + 7 λ , - 3 + 7 λ , 4 - 7 λ - 12,5 , 20 = - 14 + 7 λ , - 8 + 7 λ , - 16 - 7 λ

R T → = T - R = - 2 + 7 λ , - 3 + 7 λ , 4 - 7 λ - 9,5 , 8 = - 11 + 7 λ , - 8 + 7 λ , - 4 - 7 λ

Passo 2

Agora que determinamos todos os parâmetros iniciais, vamos descobrir o valor de λ que satisfaz a questão da congruência dos vetores. Portanto,

cos ⁡ θ = B T → ⋅ M N → | | B T → | | ⋅ | | M N → | | = R T → ⋅ M N → | | R T → | | ⋅ | | M N → | |

B T → ⋅ M N → | | B T → | | = R T → ⋅ M N → | | R T → | |

- 14 + 7 λ , - 8 + 7 λ , - 16 - 7 λ ⋅ 7,7 , - 7 - 14 + 7 λ 2 + - 8 + 7 λ 2 + - 16 - 7 λ 2 = - 11 + 7 λ , - 8 + 7 λ , - 4 - 7 λ ⋅ 7,7 , - 7 - 11 + 7 λ 2 + - 8 + 7 λ 2 + - 4 - 7 λ 2

147 λ - 42 147 λ 2 - 84 λ + 516 = 147 λ - 105 147 λ 2 - 210 λ + 201

21 ⋅ 7 λ - 2 147 λ 2 - 84 λ + 516 = 21 ⋅ 7 λ - 5 147 λ 2 - 210 λ + 201

7 λ - 2 147 λ 2 - 84 λ + 516 = 7 λ - 5 147 λ 2 - 210 λ + 201

Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

49 λ 2 - 28 λ + 4 147 λ 2 - 84 λ + 516 = 49 λ 2 - 70 λ + 25 147 λ 2 - 210 λ + 201

49 λ 2 - 28 λ + 4 ⋅ 147 λ 2 - 210 λ + 201 = 49 λ 2 - 70 λ + 25 ⋅ 147 λ 2 - 84 λ + 516

7203 λ 4 - 14406 λ 3 + 16317 λ 2 - 6468 λ + 804 = 7203 λ 4 - 14406 λ 3 + 34839 λ 2 - 38220 λ + 12900

18522 λ 2 - 31752 λ + 12096 = 0

3087 λ 2 - 5292 λ + 2016 = 0

147 λ 2 - 252 λ + 96 = 0

147 λ 2 - 252 λ + 96 = 0

49 λ 2 - 84 λ + 32 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, vamos obter λ 1 = 8 / 7 ou λ 2 = 4 / 7 . Como temos a restrição de que 0 < λ < 1 e λ ≠ 0,5 , visto que o ponto T é um ponto interior, o valor de λ que devemos utilizar é λ 2 = 4 / 7 .

Sendo assim, as coordenadas do ponto T é:

T = 2,1 , 0

Resposta

T = 2,1 , 0

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