Enunciado

Disputando uma partida de sinuca com seus amigos, Paulinho viu-se diante da situação ilustrada na Figura 19-3 (a), em que o ponto B representa a bola branca, P ,a preta, e R a rosa (esta era a bola da vez). Para sair da sinuca, Paulinho decidiu usar a tabela M N e acertou a bola rosa sem tocar na preta (Figura 19-3 (b)).

  1. Supondo que M = - 2 , - 3,4 , N = 5,4 , - 3 , B = 12,5 , 20 e R = 9,5 , 8 , calcule as coordenadas do ponto T .
  2. Substitua os dados do item (a) por M = 2,2 , 0 , N = 6,6 , 8 , B = 6,6 , - 1 e R = 6,6 , 7 2 e veja o que acontece.

Passo 1

As imagens da Figura 19-3 são essências para percebemos o que temos que fazer. Temos que descobrir um ponto T , que é interno ao segmento M N , tal que os segmentos B T e R T , em relação ao segmento M N , sejam congruentes.

Em outras palavras, a medida angular entre os vetores B T → e M N → é o mesmo que R T → e M N → . Esta é a relação que precisaremos utilizar.

Mas bom, para podermos chegar ao ponto de usar a relação de medida angular, precisamos determinar alguns pontos antes. Primeiro, vamos determinar a reta que passa por M e tem vetor diretor M N → . Ela será:

r : X = M + λ M N →

r : X = 2,2 , 0 + λ 6,6 , 8 - 2,2 , 0

r : X = 2,2 , 0 + λ 4,4 , 8

Portanto, como o ponto T é interior a r , temos um valor de λ , sendo 0 < λ < 1 e λ ≠ 0,5 (pois é o lugar de uma caçapa, tal que T = 2 + 4 λ , 2 + 4 λ , 8 λ .

Para finalizar a etapa inicial, vamos calcular os vetores B T → e R T → . Eles são:

B T → = T - B = 2 + 4 λ , 2 + 4 λ , 8 λ - 6,6 , - 1 = - 4 + 4 λ , - 4 + 4 λ , 1 + 8 λ

R T → = T - R = 2 + 4 λ , 2 + 4 λ , 8 λ - 6,6 , 7 2   = - 4 + 4 λ , - 4 + 4 λ , - 7 2 + 8 λ

Passo 2

Agora que determinamos todos os parâmetros iniciais, vamos descobrir o valor de λ que satisfaz a questão da congruência dos vetores. Portanto,

cos ⁡ θ = B T → ⋅ M N → | | B T → | | ⋅ | | M N → | | = R T → ⋅ M N → | | R T → | | ⋅ | | M N → | |

B T → ⋅ M N → | | B T → | | = R T → ⋅ M N → | | R T → | |

- 4 + 4 λ , - 4 + 4 λ , 1 + 8 λ ⋅ 4,4 , 8 - 4 + 4 λ 2 + - 4 + 4 λ 2 + 1 + 8 λ 2 = - 4 + 4 λ , - 4 + 4 λ , - 7 2 + 8 λ ⋅ 4,4 , 8 - 4 + 4 λ 2 + - 4 + 4 λ 2 + - 7 2 + 8 λ 2

96 λ - 24 96 λ 2 - 48 λ + 33 = 96 λ - 60 147 λ 2 - 120 λ + 177 4

12 ⋅ 8 λ - 2 96 λ 2 - 48 λ + 33 = 12 ⋅ 8 λ - 5 96 λ 2 - 120 λ + 177 4

8 λ - 2 96 λ 2 - 48 λ + 33 = 8 λ - 5 96 λ 2 - 120 λ + 177 4

Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

64 λ 2 - 32 λ + 4 96 λ 2 - 48 λ + 33 = 64 λ 2 - 80 λ + 25 96 λ 2 - 120 λ + 177 4

64 λ 2 - 32 λ + 4 ⋅ 96 λ 2 - 120 λ + 177 4 = 64 λ 2 - 80 λ + 25 ⋅ 96 λ 2 - 48 λ + 33

6144 λ 4 - 10752 λ 3 + 7056 λ 2 - 1896 λ + 177 = 6144 λ 4 - 10752 λ 3 + 8352 λ 2 - 3840 λ + 825

1296 λ 2 - 1944 λ + 648 = 0

2 λ 2 - 3 λ + 1 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, temos λ 1 = 1 ou λ 2 = 0,5 .

Agora, percebam que os valores de λ obtido não satisfazem os critérios iniciais, os quais eram 0 < λ < 1 e λ ≠ 0,5 .

Portanto, não existe nenhum ponto T que satisfaça os critérios da questão!

Resposta

Não existe nenhum ponto T que satisfaça os critérios da questão!

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Obtenha equações na forma simétrica de uma reta que contém o ponto P = ( 1 ,- 2 ,3 ) e forma ângulos de 45 ° e 60 ° , respectivamente, com os eixos O x e O y .
Obtenha equações da reta r que contém o ponto P = ( 1 ,1 ,1 ) e é concorrente com s : x = 2 y = 2 z , sabendo que o cosseno da medida angular entre r e s é igual a 1 3 .
Determine o ponto P na reta r : X = 0 ,2 ,0 + λ ( 0 ,1 ,0 ) e o ponto Q na reta s : X = 1 ,2 ,0 + λ ( 0 ,0 ,1 ) , tais que a reta P Q forme ângulos de 45 ° com r e de 60 ° com s .
Obtenha uma equação vetorial da reta paralela ao plano π : 2 x - y - z + 1 = 0 , concorrente com as retas r : X = 1 ,0 ,0 + λ ( 1 ,1 ,0 ) e s : X = 0 ,1 ,0 + λ ( 0 ,1 ,1 ) , que forma com elas ângulos
O plano π contém A = 3 ,7 ,- 2 e é perpendicular à O z e intercepta o conjunto Ω do exercício resolvido anterior em uma circunferência. Calcule o raio dessa circunferência.