Enunciado

O retângulo A B C D tem B C como diagonal e está contido no plano π : x + y + z = 0 . As retas A B e B C formam um ângulo de 30 ° . Determine B ,   C e D , sabendo que A = 1 ,   - 1,0 e que B pertence à reta r : X = 0,1 , 1 + λ 1,1 , 0 .

Passo 1

Inicialmente, sabemos que B pertence tanto ao plano π quanto a reta r . Logo, para encontramos B basta encontrar a intersecção entre o plano e a reta! Como fazemos isso? Como B pertence à reta r , então poderemos escrever as coordenadas de B como:

0 + λ ,   1 + λ ,   1 + 0 λ = λ ,   1 + λ ,   1

para λ real. Nosso objetivo passa ser encontrar o valor de λ . Como B pertence ao plano, suas coordenadas devem satisfazer a equação do plano x + y + z = 0 :

λ + 1 + λ + 1 = 0 ∴ 2 λ + 2 = 0 ∴ λ = - 1

Portanto, já sabemos que B = - 1 ,   1 + - 1 ,   1 = - 1 ,   0 ,   1 .

Passo 2

Resta-nos encontrar C = x C ,   y C ,   z C e D = x D , y D ,   z D   . Há, no enunciado, duas informações que ainda não usamos:

  1. A B C D é um retângulo. Logo, as retas A B e C D são ortogonais;
  2. O ângulo entre as retas A B e B C vale 30°.

Passo 3

A primeira informação nos dá que os vetores A B → e A C → são ortogonais. Assim,

A B → ⋅ A C → = 0

onde

A B → = B - A = - 1,0 , 1 - 1 , - 1,0 = - 2,1 , 1

A C → = C - A = x C ,   y C ,   z C - 1 ,   - 1,0 = x C - 1 ,   y C + 1 ,   z C

Logo,

- 2 ,   1 ,   1 ⋅ x C - 1 ,   y C + 1 ,   z C = 0 ∴ - 2 x C + 2 + y C + 1 + z C = 0

∴ - 2 x C + y C + z C + 3 = 0

Porém, note que C também pertence ao plano π , de modo que x C + y C + z C = 0 . Utilizando tal resultado na equação acima:

- 2 x C + - x C + 3 = 0 ∴ x C = 1 .

Note que agora poderemos escrever C como C = 1 ,   y C ,   z C = 1 ,   y C ,   - 1 - y C

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda informação:

B A → ⋅ B C → = A B → ⋅ B C → cos ⁡ 30 °

onde

B A → = - A B → = 2 ,   - 1 ,   - 1

B C → = C - B = 1 ,   y C , -   1 - y C - - 1 ,   0 ,   1 = 2 ,   y C , -   1 - y C - 1 = 2 ,   y C , - 2   - y C

Logo,

2 ,   - 1 ,   - 1 ⋅ 2 ,   y C ,   - 2 - y C = 2 ,   - 1 ,   - 1 ⋅ 2 , y C , - 2 - y C cos ⁡ 30 °

2 ⋅ 2 + - 1 y C + - 1 - 2 - y C = 2 2 + - 1 2 + - 1 2   2 2 + y C 2 + - 2 - y C 2 3 2

6 = 6 ⋅ 4 + y C 2 + 4 + 4 y C + y C 2 3 2

6 = 3 2 2 2 y C 2 + 4 y C + 8 ⟹ 2 2 = 2 y C 2 + 4 y C + 8

Podemos elevar ambos os lados ao quadrado:

8 = 2 y C 2 + 4 y C + 8 ∴ 2 y C 2 + 4 y C = 0 ∴ 2 y C y C + 2 = 0 ⟹ y C = 0 y C = - 2

Logo, temos as seguintes possibilidades para C :

C = 1 ,   0 ,   - 1           o u           C = 1 ,   - 2 ,   1

Passo 5

Para encontrar o vértice D , vamos usar o fato de que os vetores A B → e C D → são equipolentes. Lembre-se que vetores equipolentes são vetores que possuem a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo. Assim:

A B → = C D → ⟹ B - A = D - C ∴ D = B + C - A

Como há duas respostas possíveis para C , teremos duas respostas para D :

D = - 1,0 , 1 + 1,0 , - 1 - 1 , - 1,0 = - 1 ,   1 ,   0

D = - 1,0 , 1 + 1 , - 2,1 - 1 , - 1,0 = - 1 ,   - 1 ,   2

Resposta

Há duas possibilidades: B = - 1 ,   0,1 ; C = 1 ,   0 , - 1 ; D = - 1,1 , 0 ou B = - 1 ,   0,1 ; C = 1 , - 2,1 ; D = - 1 ,   - 1 ,   2 .

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22. A reta r : y = m x + 3 z = x - 1 É ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1,0,m) e B(-2,2m,2m). Calcular o valor de m.
Determinar o ângulo que a reta que passa por A = ( 3 , - 1,4 ) E B = ( 1,3 , 2 ) forma com a sua projeção sobre o plano x y .
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1 b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4 c) r 1 : x = 1 + 2 t
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1 b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4 c) r 1 : x = 1 + 2 t
Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retasa) r 1 : x - 2 4 = y 5 = z 3 e r 2 : y = n x + 5 z = 2 x - 2 b) r 1 : y = n x - 1 z = 2 x e r 2 : eixoO y