Enunciado

Mostre que A = 3 0 0 0 2 - 5 0 1 - 2 não é diagonalizável. No entanto, se A representar, numa certa base, um operador linear T : V → V , onde V é um espaço vetorial complexo, então T é diagonalizável. Verifique este fato ou, equivalentemente, que existe uma matriz com elementos complexos P 3 × 3   , inversível, tal que

P - 1 A P = 3 0 0 0 i 0 0 0 i

Passo 1

Bom, a primeira coisa que temos que fazer numa questão sobre diagonalização é investigar o polinômio característico. Veja:

λ - 3 0 0 0 λ - 2 5 0 - 1 λ + 2 = λ - 3 λ - 2 5 - 1 λ + 2 = λ - 3 λ - 2 λ + 2 + 5 =

= ( λ - 3 ) ( λ 2 + 1 )

Passo 2

Analisando as raízes desse polinômio, vemos que são:

3 , ± i

Mas se V é um espaço vetorial real, os autovalores ± i não possuem sentido, do que é impossível conseguir uma base de autovetores.

Passo 3

Vamos supor então que V é um espaço complexo. Nossa missão é encontrar os autovetores relacionados a esses autovalores e mostrar que eles são LI, o que verifica o que o enunciado propõe.

Para isso, vamos ao procedimento padrão:

Para λ = 3 :

0 0 0 0 1 5 0 - 1 5 x y z = 0 0 0

Do que temos:

y + 5 z = 0   e - y + 5 z = 0

Disso, temos que y = z = 0 .

Que corresponde aos autovetores:

x 0 0

Para λ = i :

i - 3 0 0 0 i - 2 5 0 - 1 i + 2 x y z = 0 0 0

Que implica em:

x = 0

i - 2 y + 5 z = 0 - y + i + 2 z = 0

Multiplicando a segunda equação por 2 - i , temos:

- 2 - i y + 5 z = 0

Que é idêntica à primeira. Disso, temos:

z = 2 - i 5 y

E os autovetores são:

0 y 2 - i 5 y

Para λ = - i :

- i - 3 0 0 0 - i - 2 5 0 - 1 - i + 2 x y z = 0 0 0

Que implica em:

x = 0

- i - 2 y + 5 z = 0 - y + - i + 2 z = 0

Multiplicando a segunda por 2 + i :

- i + 2 y + 5 z = 0

Que é idêntica à primeira, do que podemos escrever:

z = i + 2 5 y

E os autovetores são:

0 y i + 2 5 y

Passo 4

No passo anterior mostramos que existe uma base para V , espaço complexo, composta de autovetores de A , ou seja, A é diagonalizável e podemos garantir a existência de P tal que:

P - 1 A P = 3 0 0 0 i 0 0 0 - i

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = 3 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = - 7 24 0 0 24 7 0 0 0 0 - 7 24 0 0 24 7
2. Prove: se Q for uma matriz ortogonal, então cada entrada de Q é dada pelo seu cofator se det ⁡ ( Q ) = 1 e pelo negativo de seu cofator se det ⁡ ( Q ) = - 1 .
Determinar, se possível, uma matriz M ∈ M 2 ( R ) de maneira que M - 1 A M seja diagonal, nos seguintes casos: b )3 - 2 2 1
Determinar, se possível, uma matriz M ∈ M 2 ( R ) de maneira que M - 1 A M seja diagonal, nos seguintes casos: a )2 4 3 13