Enunciado

Dizemos que um operador auto adjunto T : V → V , em um espaço com produto interno de dimensão finita é (definido) positivo se < T V , V > 0 , para todo V ∈ V ,   V ∈ 0 - . Mostre que são equivalentes as seguintes afirmações:

a) O operador T e definido positivo.

b) O operador T e auto adjunto é todos os autovalores de T são positivos.

c) Existe um operador auto adjunto e definido positivo S tal que T = S 2 . O operador S é chamado raiz quadrada de T .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão se dizermos que um operador auto adjunto T : V → V , em um espaço com produto interno de dimensão finita é (definido) positivo se < T V , V > 0 , para todo V ∈ V ,   V ∈ 0 - . Mostre que são equivalentes as seguintes afirmações:

a) O operador T e definido positivo.

b) O operador T e auto adjunto é todos os autovalores de T são positivos.

c) Existe um operador auto adjunto e definido positivo S tal que T = S 2 . O operador S é chamado raiz quadrada de T .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

< T V , V > 0 V ∈ V ,   V ∈ 0 - , temos

Na letra (a) para mostrar que T é definido como positivo temos,

T V ∈ V

Na letra (b) para o operador T é auto adjunto a todos os autovalores de T sejam positivos, temos

< T V , V > ≠ 0 -

E por fim na letra ( c ) para existir um operador adjunto e positivo tal que T = S 2 , temos

S 2 ∈ V

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) T V ∈ V

b) < T V , V > ≠ 0 -

c) S 2 ∈ V

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