Enunciado

Efetuar uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar o termo x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico.

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 - 4 = 0

Passo 1

O problema pede para efetuarmos uma rotação no sistema de coordenadas para obter a equação de uma cônica sem o termo misto x y . Para isso, usamos que

a x 2 + 2 b x y + c y 2 = x y   a b b c   x y

A grande sacada do problema é que procuramos um sistema de coordenadas x ' y ' em que a matriz do meio é diagonal. Para isso, temos que diagonalizá-la!

Neste problema, a matriz pode ser escrita como

3 1 1 3

Passo 2

Vamos procurar os autovalores da matriz pela equação característica:

3 - λ 1 1 3 - λ = 0

Assim,

3 - λ 2 - 1 = 0 ⇒ 3 - λ = ± 1

Logo,

λ 1 = 2               e               λ 2 = 4

Note que neste problema não temos termos lineares em x e y . Desta forma, você não vai precisar escrever x e y como função de x ' e y ' , de modo que não precisamos procurar os autovetores, o que é motivo de muitas alegrias!!!

Passo 3

Assim, efetuando a rotação para o sistema x ' y ' , teremos

x ' y '   2 0 0 4   x ' y ' = 2 x ' 2 + 4 y ' 2

Assim, a equação da cônica é

2 x ' 2 + 4 y ' 2 - 4 = 0

Logo,

x ' 2 2 + y ' 2 = 1

Trata-se de uma elipse cujo gráfico é dado a seguir:

Resposta

x ' 2 2 + y ' 2 = 1

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