Enunciado

Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico.

5 x 2 + 4 x y + 2 y 2 - 12 = 0

Passo 1

Pra resolver essa questão, vamos usar de novo o método dos invariantes. Como só vimos uma questão com isso até agora, ainda tá muito fresco na cabeça, e por isso vou repetir o método todo. É assim: a equação completa da cônica é:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Quando a gente fizer a rotação da cônica, o termo em B vai sumir. A gente chama de invariantes porque tem algumas expressões que não mudam o valor, nem quando a gente roda a cônica. São eles:

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n 2 θ B ' 2 - 4 A ' C ' = B 2 - 4 A C F ' = F

Essas letras, A ' , B ' , C ' e F ' serão os coeficientes da equação da cônica, já desrotacionada. Repara no seguinte: B ' = 0 , já que estamos com a cônica desrotacionada. Tem que saber também que esse θ da segunda equação é o ângulo de rotação da cônica, que a gente calcula como:

t g 2 θ = B A - C

Se por acaso A = C , a tangente vai tender ao infinito. Isso quer dizer que 2 θ = 90 ° , e aí o ângulo de rotação θ = 45 ° . Beleza, já relembramos tudo, agora vamos resolver essa parada.

Passo 2

A equação da nossa cônica é:

5 x 2 + 4 x y + 2 y 2 - 12 = 0

Comparando com a equação completa da cônica, a gente tem:

A = 5

B = 4

C = 2

D = E = 0

F = - 12

Vamos encontrar o ângulo de rotação:

t g 2 θ = B A - C = 4 5 - 2

t g 2 θ = 4 3

O que a gente precisa aqui é do seno do ângulo, então bora mexer nessa expressão pra descobrir:

s e n 2 θ cos ⁡ 2 θ = 4 3 → cos ⁡ 2 θ = 3 s e n 2 θ 4

Substituindo na relação fundamental:

s e n 2 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ = 1

s e n 2 2 θ + 3 s e n 2 θ 4 2 = 1

1 + 9 16 s e n 2 2 θ = 1

s e n 2 2 θ = 16 25

s e n 2 θ = 4 5

Passo 3

Show, já temos tudo que precisávamos! Vamos ver os invariantes.

A ' + C ' = 5 + 2 = 7 A ' - C ' = 4 4 5 = 5 F ' = - 1 2

Resolvendo o sistema das duas primeiras linhas, vamos encontrar A ' = 6 e C ' = 1 . Beleza, então já sabemos a equação da cônica no sistema x ' O y ' !

6 x ' 2 + y ' 2 - 12 = 0

Dividindo tudo por 12 e passando o termo independente pro outro lado:

x ' 2 2 + y ' 2 6 = 1

Essa equação representa uma elipse!

Passo 4

Fazendo o esboço delas:

Resposta

x ' 2 2 + y ' 2 6 = 1

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Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.22. x 2 + 2 x y + y 2 - x - 3 y = 0
Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.17. x 2 + 2 x y + y 2 + x - y - 4 = 0
Mostre que o gráfico de x + y = 1 é um segmento de uma parábola por uma rotação de eixos de um ângulo cuja medida é π 4 . (Sugestão: elimine os radicais na equação antes de aplicar o Teorema 10.4.1.)
Mostre que para a equação geral do segundo grau em duas variáveis, o discriminante B 2 - 4 A C é invariante sob uma rotação de eixos.
Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.18. 16 x 2 - 24 x y + 9 y 2 - 60 x - 80 y