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Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Capítulo 7.8 - Ex. 9

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Efetuar uma rotação e uma translação de eixos para referir a quádrica ao sistema O ' X Y Z e identifica-la.

3 x 2 + 5 y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 2 x z - 2 y z - 4 x + 6 y - 2 z + 2 = 0

Passo 1

O problema pede para efetuarmos uma rotação e uma translação de eixos para obter uma equação reduzida e que não tenha termos mistos para a quádrica dada. Para isso, você deve usar o seguinte procedimento:

a x 2 + b y 2 + c z 2 + 2 d x y + 2 e x z + 2 f y z = x y z   a d e d b f e f c   x y z

Assim, temos que

3 x 2 + 5 y 2 + 3 z 2 - 2 x y + 2 x z - 2 y z = x y z   3 - 1 1 - 1 5 - 1 1 - 1 3   x y z

Nosso objetivo vai ser diagonalizar essa matriz! Vamos procurar os autovalores:

3 - λ - 1 1 - 1 5 - λ - 1 1 - 1 3 - λ = 0

Assim,

3 - λ ⋅ 5 - λ 3 - λ - 1 + 1 ⋅ - 3 + λ + 1 + 1 ⋅ 1 - 5 + λ = 0

Portanto,

3 - λ λ 2 - 8 λ + 14 + 2 λ - 6 = 0

Logo,

3 - λ λ 2 - 8 λ + 14 - 2 3 - λ = 0

Fatorando o termo 3 - λ em evidência,

3 - λ λ 2 - 8 λ + 14 - 2 = 0 ⇒ 3 - λ λ 2 - 8 λ + 12 = 0

Já temos que λ = 3 é solução da equação característica. Para achar as outras duas:

λ 2 - 8 λ + 12 = 0

As soluções dessa equação são λ = 2 e λ = 6 . Assim, os autovalores são

λ 1 = 2 ,           λ 2 = 3             e             λ 3 = 6

Assim, o termo quadrático pode ser reescrito como

x ' y ' z '   2 0 0 0 3 0 0 0 6   x ' y ' z ' = 2 x ' 2 + 3 y ' 2 + 6 z ' 2

Passo 2

Agora que já temos os autovalores e resolvemos o problema dos termos quadráticos, precisamos achar os autovetores para escrever as variáveis x ,   y e z em termos de x ' ,   y ' e z ' .

Para λ 1 = 2 :

1 - 1 1 - 1 3 - 1 1 - 1 1 a b c = 0 0 0 ⇒ a - b + c = 0 - a + 3 b - c = 0 a - b + c = 0

Note que a terceira equação é igual a primeira: podemos descartar ela. Além disso, somando a primeira equação com a segunda:

2 b = 0 ⇒ b = 0

Assim,

a + c = 0 ⇒ c = - a

Portanto,

u 1 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   - a = a   ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Para que o autovetor seja normalizado: a = 1 / 2 :

u 1 = 1 2 ,   0 ,   - 1 2

Já para λ 2 = 3 :

0 - 1 1 - 1 2 - 1 1 - 1 0 a b c = 0 0 0

Note que a segunda linha é a soma da primeira com a segunda, então vamos descarta-la. Da primeira linha:

- b + c = 0 ⇒ b = c

Da terceira:

a - b = 0 ⇒ b = a

Portanto,

u 2 = a ,   b ,   c = a ,   a ,   a = a   ( 1 ,   1 ,   1 )

Com a = 1 / 3 , u 2 terá norma 1 :

u 2 = 1 3 , 1 3 , 1 3

Por fim, para λ 3 = 6 :

- 3 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 3 a b c = 0 0 0

Note que l 3 = - 2 l 1 + l 2 . Assim, podemos descartar a terceira linha. Somando a primeira linha com a segunda:

- 4 a - 2 b = 0 ⇒ b = - 2 a

Substituindo isso na segunda linha:

- a - b - c = 0 ⇒ - a + 2 a - c = 0 ⇒ c = a

Logo,

u 3 = a ,   b ,   c = a ,   - 2 a ,   a = a   ( 1 ,   - 2 ,   1 )

Para que ele seja normalizado, a = 1 / 6 :

u 3 = 1 6 ,   - 2 6 , 1 6

Assim, a matriz de mudança de coordenadas é construída com os autovetores:

x y z = 1 2 1 3 1 6 0 1 3 - 2 6 - 1 2 1 3 1 6   x ' y ' z '

Portanto,

x = x ' 2 + y ' 3 + z ' 6

y = y ' 3 - 2 z ' 6

z = - x ' 2 + y ' 3 + z ' 6

Passo 3

Desta forma, substituindo as expressões encontradas nos passos anteriores, a equação da quádrica será

2 x ' 2 + 3 y ' 2 + 6 z ' 2 - 4 x ' 2 + y ' 3 + z ' 6 + 6 y ' 3 - 2 z ' 6 - 2 - x ' 2 + y ' 3 + z ' 6 + 2 = 0

Agrupando os termos:

2 x ' 2 + 3 y ' 2 + 6 z ' 2 - 2 x ' 2 - 18 z ' 6 + 2 = 0

Agora precisamos completar quadrados para escrever a equação na forma reduzida:

2 x ' 2 - 2 x ' 2 = 2 x ' 2 - x ' 2 + 1 8 - 1 8 = 2 x ' - 1 2 2 2 - 1 4

6 z ' 2 - 18 z ' 6 = 6 z ' 2 - 3 z ' 6 + 3 8 - 3 8 = 6 z ' - 3 2 6 2 - 9 4

Portanto,

2 x ' - 1 2 2 2 - 1 4 + 3 y ' 2 + 6 z ' - 3 2 6 2 - 9 4 + 2 = 0

Assim,

2 x ' - 1 2 2 2 + 3 y ' 2 + 6 z ' - 3 2 6 2 = 1 2

Multiplicando por 2 :

4 x ' - 1 2 2 2 + 6 y ' 2 + 12 z ' - 3 2 6 2 = 1

Fazendo a translação:

x ' - 1 2 2 → X ,         y ' → Y           e           z ' - 3 2 6 → Z

Temos que

4 X 2 + 6 Y 2 + 12 Z 2 = 1

Trata-se de um elipsoide!

Resposta

4 X 2 + 6 Y 2 + 12 Z 2 = 1

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