Enunciado

A elipse E tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Em cada caso, escreva uma equação reduzida de E e determine os focos.

  1. A = 3,2 , B = 1,4 .
  2. A = 5,2 , B = 2,4 .
  3. A = - 4 , - 6 , B = 2,3 .

Passo 1

Já começamos sabendo que a nossa elipse tem centro em O . Isto é muito importante pois com esta informação, sabemos que ela não está transladada! Então, a sua equação reduzida pode ser:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Bom, o trabalho desta questão está em descobrir estes valores a e b para poder escrever a sua equação reduzida e depois escrevermos as coordenadas dos focos.

A ideia é substituirmos as coordenadas dos pontos A e B e montarmos um sistema de equação. Ao resolvermos este sistema, teremos os valores de a e b da nossa elipse.

Passo 2

Vamos agora as contas. Portanto, os pontos A = 5,2 , B = 2,4 pertencem a nossa elipse. Logo, nossa primeira equação será:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

- 4 2 a 2 + - 6 2 b 2 = 1

16 a 2 + 36 b 2 = 1

16 b 2 + 36 a 2 a 2 b 2 = 1

a 2 b 2 = 16 b 2 + 36 a 2

E vamos parar por aqui. Agora, vamos substituir as coordenadas de B . Portanto,

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

2 2 a 2 + 3 2 b 2 = 1

4 a 2 + 9 b 2 = 1

4 b 2 + 9 a 2 a 2 b 2 = 1

a 2 b 2 = 4 b 2 + 9 a 2

Agora, vamos igualar as duas expressões a 2 b 2 obtidas. Com isto, temos:

4 b 2 + 9 a 2 = 16 b 2 + 36 a 2

12 b 2 = 27 a 2

b 2 = 9 a 2 4

Agora, vamos substituir esta relação em qualquer uma das que obtivemos antes para descobrirmos o valor de a . Portanto,

a 2 b 2 = 4 b 2 + 9 a 2

a 2 ⋅ 9 a 2 4 = 4 ⋅ 9 a 2 4 + 9 a 2

9 a 4 4 = 3 6 a 2 + 36 a 2 4 = 72 a 2 4

9 a 4 = 72 a 2

a 2 = 8

a = 2 2

Lembrem-se que os parâmetros geométricos são sempre positivos! Se substituirmos o valor de a na relação de b , vamos obter o seguinte valor:

b 2 = 9 a 2 4 = 9 ⋅ 8 4 = 18

b = 3 2

E portanto, a equação reduzida da nossa elipse é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

x 2 2 2 2 + y 2 3 2 2 = 1

x 2 8 + y 2 18 = 1

Passo 3

Agora, só nos resta calcularmos os focos. Como o maior denominador é o denominador do y , pois:

18 > 8

Então, os focos estão no eixo O y e são dados por F = 0 , ± c , sendo c = b 2 - a 2 (normalmente é a 2 - b 2 , mas como aqui o a foi dito denominador de x , para não nos confundirmos agora, vamos utilizar a outra relação).

OBS: Se você tentar calcular utilizando a relação tradicional e não conseguir pois vai dar raiz de um número negativo, é só inverter a ordem da subtração dentro da raiz!

Continuando, o valor de c será:

c = b 2 - a 2 = 18 - 8 = 10

E portanto, os focos são:

F = 0 , ± 10

Resposta

Equação reduzida da elipse:

x 2 8 + y 2 18 = 1

Focos:

F = 0 , ± 10

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que o triângulo com vértices em - 8 ,1 , - 1 ,- 6 e 2 ,4 é isósceles e ache sua área.
Prove que os pontos 2 ,4 , 1 ,- 4 e 5 ,- 2 são vértices de um triângulo retângulo e acha área do triângulo.
Prove que o quadrilátero com vértices 1,2 , 5 ,- 1 , 11 ,7 e 7 ,10 é um retângulo.
Prove que os pontos 1 ,- 1 , 3 ,2 e 7 ,8 são colineares usando a fórmula da distância.
Dois vértices de um paralelogramo são - 3 ,4 e 2 ,3 e seu centro está em 0 ,- 1 . Ache os outros dois vértices.