Enunciado

Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:

  1. Foco: F 0,0 , eixo: y = 0 e passa por A ( 3,4 )

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, se o eixo é y = 0 , o vértice é da forma ( x v ,   0 ) , então nossa parábola é da forma:

y - 0 2 = 2 p ( x - x v )

y 2 = 2 p ( x - x v )

E também a reta diretriz será da forma x = k .

Passo 2

Bom, a distância do ponto A ao foco é a mesma distância do ponto A até a diretriz.

Vamos calcular a distância de A   a   F então:

d A , F = 3 - 0 2 + 4 - 0 2 = 9 + 16 = 25 = 5

Calculando agora a distância entre A   e   x = k temos:

3 1 - k 1 = 5

3 - k = 5

Vamos considerar o módulo positivo:

3 - k = 5

- k = 2

k = - 2

Passo 3

A diretriz então é x = - 2 , e daí, p = 2 , já que é a distância do foco à diretriz.

O vértice então, que tá ali no meio, é V ( - 1,0 ) .

Agora montamos a equação:

y 2 = 2 ⋅ 2   ( x + 1 )

y 2 = 4 ( x + 1 )

y 2 = 4 x + 4

y 2 - 4 x - 4 = 0

Prontinho! Equação calculada!

Passo 4

Agora pra calcular as interseções com os eixos, vamos fazer x = 0 e y = 0 :

  • Eixo x: y = 0 →   - 4 x - 4 = 0 → - 4 x = 4 → x = - 1
  • A interseção aqui é o ponto ( - 1,0 )

  • Eixo y: x = 0 →     y 2 - 4 = 0 → y 2 = 4 → y = ± 2

As interseções aqui são:

0 , - 2   e   ( 0,2 )

E pronto! Encerramos por aqui!

Resposta

y 2 - 4 x - 4 = 0

( - 1,0 ) , 0 , - 2   e   ( 0,2 )

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Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.31)x 2 = 12 ( y - 6 )
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