Enunciado

Encontrar sobre a parábola y 2 = 4 x um ponto tal que sua distância à diretriz seja igual a 3 .

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos começar percebendo que essa equação é da forma:

y 2 = 2 p x

Nesse caso, 2 p = 4 → p = 2 .

Ou seja, a distância entre o foco e a diretriz, é 2.

Então a distância entre o vértice e a diretriz é 1 , certo?

Seguimos...

Passo 2

Bom, já que a distância entre o vértice e a diretriz é 1, e o vértice é ( 0,0 ) , a diretriz é x = - 1 , porque a parábola tá paralela ao eixo x e com a concavidade para a direita (coeficiente de y 2 positivo).

Queremos então encontrar um ponto sobre a parábola, que dista 3 dessa diretriz.

Um ponto qualquer da parábola é da forma:

P = k 2 4 ,   k

A gente tem então que fazer a distância desse ponto P até a reta x = - 1 .

Passo 3

A distância de um ponto ( x , y ) a uma reta a x + b y + c é dada por:

d = a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2

No nosso caso, temos:

a = 1 ; b = 0   e   c = 1

A distância então vai ser:

d = k 2 4 + 1 1 = k 2 4 + 1

Queremos que essa distância seja 3 , então...

k 2 4 + 1 = 3

k 2 4 = 2

k 2 = 8

k = ± 8

Passo 4

O ponto que satisfaz a condição pedida então é:

P = 8 4 ,   ± 8

Temos dois pontos então:

P 1 = 2 , - 8

P 2 = 2 , 8

Prontinho! Pontos encontrados😉

Resposta

P 1 = 2 , - 8

P 2 = 2 , 8

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