Enunciado

Obtenha uma equação vetorial da reta r , concorrente com s : 2 x - y + z + 6 = 0 = x - z e contida em π 1 : 3 x - 2 y - 2 z + 7 = 0 , sabendo que a medida angular ente r e π 2 : x + y = 2 é arccos ⁡ 1 3

Passo 1

Primeiramente, para facilitar as análises posteriores, vamos escrever a equação vetorial da reta s . Então,

s : 2 x - y + z + 6 = 0 x - z = 0 ⟹ s : y = 3 z + 6 x = z

Então,

s : X = x , y , z

s : X = z , 3 z + 6 , z

s : X = 0 , 6 , 0 + z , 3 z , z

s : X = 0,6 , 0 + λ 1,3 , 1

E agora? O que temos que fazer para descobrir a equação da reta r ? Precisamos descobrir as coordenadas de um ponto e do seu vetor diretor.

Então, vejam só. Sabemos que r está contida no plano π 1 . Também sabemos que r intercepta a reta s . Então, automaticamente, sabemos as coordenadas de um ponto de r . Ele é a interseção de s com o plano π 1 ! Calculando-o, temos:

3 λ - 2 6 + 3 λ - 2 λ + 7 = 0

3 λ - 12 - 6 λ - 2 λ + 7 = 0

- 5 λ - 5 = 0

λ = - 1

Portanto, o ponto A = - 1,3 , - 1 é um ponto que pertence a reta s , pertence ao plano π 1 e também pertence a reta r ! Assim, podemos escrever r da seguinte forma:

r : X = A + λ r →

r : X = - 1,3 , - 1 + λ r →

Passo 2

Agora só nos resta descobrirmos as coordenadas do vetor diretor da reta r . Para isto, vamos assumir que r → = a , b , c . Precisamos então descobrir os valores de a , b e c que satisfazem a nossa questão.

A primeira restrição é que a reta está contida no plano π 1 . Portanto, o vetor diretor de r é ortogonal ao vetor normal de π 1 . Então,

r → ⋅ n → 1 = 0

Desenvolvendo esta relação,

a , b , c ⋅ 3 , - 2 , - 2 = 0

3 a - 2 b - 2 c = 0

a = 2 b + 2 c 3

Portanto, sabemos que o vetor r → tem coordenadas r → = 2 b + 2 c 3 , b , c .

Passo 3

Precisamos de mais uma relação para poder finalizarmos o vetor diretor. Esta relação sairá da medida angular de r com π 2 . Mas, antes disto, vamos escrever o seno do ângulo entre os dois.

Sabemos que o ângulo entre eles é θ = arccos ⁡ 1 3 . Consequentemente, cos ⁡ θ = 1 3 .

Então, o seno do ângulo será:

sen ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ = 1 - 1 9 = 8 9 = 2 2 3

Agora sim podemos escrever a relação de medida angular entre a reta r e o plano π 2 . Ela será:

sen ⁡ θ = r → ⋅ n 2 → | | r → | | ⋅ | | n 2 → | |

2 2 3 = 2 b + 2 c 3 , b , c ⋅ 1,1 , 0 2 b + 2 c 3 2 + b 2 + c 2 ⋅ 1 2 + 1 2 + 0 2

2 2 3 = 2 b + 2 c 3 + b 4 b 2 9 + 8 b c 3 + 4 c 2 9 + b 2 + c 2 ⋅ 2

3 5 b + 2 c 3 = 4 ⋅ 13 b 2 + 8 b c + 13 c 2 9

5 b + 2 c = 4 3 ⋅ 13 b 2 + 8 b c + 13 c 2

Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

5 b + 2 c 2 = 16 9 ⋅ 13 b 2 + 8 b c + 13 c 2

9 ⋅ 25 b 2 + 20 b c + 4 c 2 = 208 b 2 + 128 b c + 208 c 2

225 b 2 + 180 b c + 36 c 2 = 208 b 2 + 128 b c + 208 c 2

17 b 2 + 52 b c - 172 c 2 = 0

Considerando b como uma variável e c como uma constante qualquer, podemos resolver a equação do segundo grau acima. Com isto, vamos obter:

b = - 52 c ± 52 c 2 - 4 ⋅ 17 ⋅ - 172 34 = - 52 c ± 120 c 34

Analisando a primeira solução, temos b 1 = 2 c , o que nos dá o vetor r → 1 = 2 c , 2 c , c , ou, simplesmente, r → 1 = 2,2 , 1 .

Já para a segunda solução, b 2 = - 86 17 c , temos o vetor r → 2 = - 46 17 c , - 86 17 c , c , ou, simplesmente, r → 2 = - 46 , - 86,17 .

Desta forma, temos duas possibilidades de retas. Elas são:

r 1 : X = - 1,3 , - 1 + λ 2,2 , 1

r 2 : X = - 1,3 , - 1 + λ - 46 , - 86,17

Resposta

r 1 : X = - 1,3 , - 1 + λ 2,2 , 1

r 2 : X = - 1,3 , - 1 + λ - 46 , - 86,17

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