Enunciado

Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 3 para uma rotação de 30 ° em torno do eixo x , seguida de uma rotação de 30 ° em torno do eixo   z , seguida de uma contração

de fator k = 1 4

Passo 1

Primeiro devemos organizar as matrizes que serão usadas nesse problema, assim temos.

R θ 1   = 1 0 0 0 cos ⁡ 30 ° - sen ⁡ 30 ° 0 sen ⁡ 30 ° cos ⁡ 30 °

R θ 2 = cos ⁡ 3 0 ° - sen ⁡ 3 0 ° 0 sen ⁡ 3 0 ° cos ⁡ 3 0 ° 0 0 0 1

T k = 1 4 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4

Passo 2

Agora vamos fazer o produto interno das 3 matrizes apresentadas para encontrarmos a matriz canônica pedida na questão.

R θ 1   ∘ R θ 2   ∘ T k = 1 0 0 0 cos ⁡ 30 ° - sen ⁡ 30 ° 0 sen ⁡ 30 ° cos ⁡ 30 ° ⋅ cos ⁡ 3 0 ° - sen ⁡ 3 0 ° 0 sen ⁡ 3 0 ° cos ⁡ 3 0 ° 0 0 0 1 ⋅ 1 4 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4

= cos ⁡ 30 ° - sen ⁡ 30 ° 0 0 cos ⁡ 30 ° * cos ⁡ 30 ° - sen ⁡ 30 ° sen ⁡ 30 ° * sen ⁡ 30 ° cos ⁡ 30 ° * sen ⁡ 3 0 ° cos ⁡ 30 ° ⋅ 1 4 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4

R θ 1   ∘ R θ 2   ∘ T k = 3 8 - 1 8 0 0 3 16   - 1 8 1 16 3 16 3 8

Resposta

3 8 - 1 8 0 0 3 16   - 1 8 1 16 3 16 3 8

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Pode ser provado que se A for uma matriz 2 × 2 de vetores colunas ortonormais e com det ⁡ A = 1 , então a multiplicação por A é uma rotação por algum ângulo θ . Verifique que: A =- 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2
Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R 3 por um ângulo de - 60 ° em torno do eixo x .
Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R 3 por um ângulo de - 60 ° em torno do eixo y .
Em cada caso, descreva em palavras o efeito geométrico de multiplicar um vetor x → pela matriz A . A =2 0 0 3 A =3 2 - 1 2 1 2 3 2
Use a Fórmula ( 15 ) para encontrar a matriz canônica de uma rotação de 180 ° em torno do eixo determinado pelo vetor v( 2 ,2 ,1 ) . [Observação: a Fórmula ( 15 ) exige que o vetor que define o eixo d