Enunciado

Pode ser provado que se A for uma matriz 2 × 2 de vetores colunas ortonormais e com det ⁡ A = 1 , então a multiplicação por A é uma rotação por algum ângulo θ . Verifique que:

A =   - 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2

Satisfaz as condições enunciadas, e encontre o ângulo de rotação.

Passo 1

Vamos lá, primeiro devemos analisar se os vetores colunas são ortonormais.

| c → 1 | = - 1 2 2   + 1 2 2 = 1

| c → 2 | = - 1 2 2   + - 1 2 2 = 1

Também:

c → 1   ⋅   c → 2 = - 1 2 ⋅   - 1 2 +   1 2 ⋅ - 1 2 = 0

Logo:

c → 1   ⊥   c → 2

Por fim: A =   - 1 2 ⋅   - 1 2 -   1 2 ⋅ - 1 2 = 1

Como podemos ver eles atendem as condições.

Passo 2

Agora vamos iremos multiplicar A por ( x , y )

F x = - 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 * x y =   - x - y 2 + x - y 2

Passo 3

Analisando F ( x ) observamos que x = 0 e   F x = ( - y 2 ,   - y 2 )

Logo a rotação imposta por A será de:

- 3 π 4

Resposta

- 3 π 4

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