Enunciado

Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:

b) A =   2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 0 0 1 0 1 1

Passo 1

Vamos escrever a matriz A - λ I n , de forma que:

A - λ I n = 2 -   λ 2 3                     4 0 2 -   λ 3                     2 0 0 0 0 1 -   λ 0 1 1 -   λ

Passo 2

Agora, temos que calcular o determinante dessa nossa matriz:

det ⁡ 2 -   λ 2 3                     4 0 2 -   λ 3                     2 0 0 0 0 1 -   λ 0 1 1 -   λ

det = λ 4 - 6 λ 3 + 13 λ 2 - 12 λ + 4

Igualando o determinante a zero:

λ 4 - 6 λ 3 + 13 λ 2 - 12 λ + 4 = 0

Reescrevendo:

( λ - 1 ) 2 ( λ - 2 ) 2 = 0

λ = 1

λ = 2

Passo 3

Substituindo λ = 1 na matriz A - λ I n :

1 2 3 4 0 1 3   2 0 0 0 0 0 0 1 0

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

1 2 3 4 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Escalonando:

1 2 3 4 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 L 2 → - L 2 - 2 L 3

1 2 3 4 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 L 1 → L 1 - 4 L 3

1 2 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 L 1 → L 1 - 2 L 2

1 0 - 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Assim, temos como resultado:

x 1 - 3 x 3 = 0 x 2 + 3 x 3 = 0 x 4 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = 3 a - 3 a a 0

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

a(3, -3, 1, 0)

Substituindo λ = 2 na matriz A - λ I n :

0 2 3   4 0 0 3 2 0 0 0 0 - 1 0 1 - 1

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

0 2 3 4 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 - 1 0 1 - 1 0 0

Escalonando, obtemos:

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Assim, temos como resultado:

x 2 = 0 x 3 = 0 x 4 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = a 0 0 0

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

a(1, 0, 0, 0)

Resposta

λ = 1

V1 = (3, -3, 1, 0)

λ = 2

V2 = (1, 0, 0, 0)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja S = p 0 ,p 1 , … , p n um conjunto de polinômios tais que o grau de p k é igual a k, para k=0 , . . . , n . Mostre que S é uma base para o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n.
Mostre que t ,t 3 ,t 5 , … , t 2 n + 1 é uma base para o subespaço dos polinômios que satisfazem p - t = - p ( t ) , para todo t ∈ R .
Dados V 1 = ( - 3,5 , 2,1 ) e V 2 = ( 1 , - 2 , - 1,2 ) : b ) Sejam V 3 e V 4 vetores do R 4 . Quais condições sobre V 3 e V 4 para que { V 1 ,V 2 , V 3 , V 4 } seja uma base de R 4 ?
Seja V = { ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) |a , b , c∈ R } um subespaço de R 3 .a) Determine um conjunto de geradores para V .
Dados V_1 = ( - 3,5 , 2,1 ) e V_2 = ( 1 , - 2 , - 1,2 ) :a ) Os vetores V_1 e V_2 geram o R^4 ? Justifique.