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A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível.

x 2 + y 2 + 4 x y = 0

Passo 1

Galera, essa expressão aí é do tipo que a gente conhece como “homogênea”. Ela é chamada assim porque todos os termos têm o mesmo grau, tá vendo? x 2 é de grau 2 , y 2 é de grau 2 e 4 x y é de grau 2 . Sacou? A idéia nessas expressões é a gente a expressão toda por uma das letras, assim ó:

x 2 + 4 x y + y 2 = 0

Divide tudo por x 2 :

x 2 x 2 + 4 x y x 2 + y 2 x 2 = 0

1 + 4 y x + y x 2 = 0

Mas ó, isso aí a gente faz considerando que o x já é diferente de 0 , porque não podemos dividir por 0 , beleza? Depois a gente vai ter que analisar o caso de x = 0 pra ver se tinha solução.

Passo 2

Pra resolver essa equação, vamos chamar y x de t :

1 + 4 t + t 2 = 0

Equação do segundo grau a gente sabe resolver, né?

t = - 4 ± 4 2 - 4 2

t = - 4 ± 12 2

E aí, vamos ter duas soluções: t = - 2 + 3 e t = - 2 - 3 . Agora vamos voltar pra y x :

t = - 2 + 3 :

y x = - 2 + 3

y = - 2 + 3 x

t = - 2 - 3 :

y x = - 2 - 3

y = - 2 - 3 x

Essas equações representam duas retas concorrentes.

Passo 3

Vamos dar uma olhada rápida no caso de x = 0 , substituindo na expressão original.

x 2 + y 2 + 4 x y = 0

y 2 = 0

y = 0

Beleza, esse ponto representa a origem, que já estava nas retas!

Passo 4

Esboçando as retas:

Resposta

Par de retas concorrentes.

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