Enunciado

A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível.

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 = 0

Passo 1

Essa expressão é do tipo que a gente conhece como “homogênea”. Ela é chamada assim porque todos os termos têm o mesmo grau, se ligou? x 2 é de grau 2 , y 2 é de grau 2 e 4 x y é de grau 2 . Sacou? A idéia nessas expressões é a gente a expressão toda por uma das letras, assim:

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 = 0

Divide tudo por x 2 :

3 x 2 x 2 + 2 x y x 2 + 3 y 2 x 2 = 0

3 + 2 y x + 3 y x 2 = 0

Mas ó, isso aí a gente faz considerando que o x já é diferente de 0 , porque não podemos dividir por 0 , beleza? Depois a gente vai ter que analisar o caso de x = 0 pra ver se tinha solução.

Passo 2

Pra resolver essa equação, vamos chamar y x de t :

3 + 2 t + 3 t 2 = 0

Equação do segundo grau a gente sabe resolver!

t = - 2 ± 4 2 - 4 ( 3 ) ( 3 ) 2

t = - 2 ± - 20 2

Ih rapaz, número complexo não é pra gente não! Aqui a gente só mexe com número real. Se não tem solução real, vamos dizer que o conjunto não representa nenhum ponto do plano!

Passo 3

Mas galera, falta a gente analisar o caso do x = 0 , né? Vamos dar uma olhada nesse caso, substituindo na expressão original.

3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 = 0

3 y 2 = 0

y = 0

Opa, então na real tem um ponto sim! O ponto ( 0 ,   0 ) serve pra gente, mas só ele! Ainda bem que não esquecemos desse caso!

Passo 4

A representação gráfica dele é:

Resposta

Ponto ( 0 ,   0 ) .

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