Enunciado

Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico.

7 x 2 + 13 y 2 - 6 3 x y - 16 = 0

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método dos invariantes. Como é muito novo, vou repetir mais uma vez! É assim: a equação completa da cônica é:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Quando a gente fizer a rotação da cônica, o termo em B vai sumir. A gente chama de invariantes porque tem algumas expressões que não mudam o valor, nem quando a gente roda a cônica. São eles:

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n 2 θ B ' 2 - 4 A ' C ' = B 2 - 4 A C F ' = F

Essas letras, A ' , B ' , C ' e F ' serão os coeficientes da equação da cônica, já desrotacionada. Repara no seguinte: B ' = 0 , já que estamos com a cônica desrotacionada. Tem que saber também que esse θ da segunda equação é o ângulo de rotação da cônica, que a gente calcula como:

t g 2 θ = B A - C

Se por acaso A = C , a tangente vai tender ao infinito. Isso quer dizer que 2 θ = 90 ° , e aí o ângulo de rotação θ = 45 ° . Beleza, já relembramos tudo, agora vamos resolver essa parada.

Passo 2

A equação da nossa cônica é:

7 x 2 + 13 y 2 - 6 3 x y - 16 = 0

Cuidado com esse termo trocado, não vai se confundir não! Comparando com a equação completa da cônica, a gente tem:

A = 7

B = - 6 3

C = 13

D = E = 0

F = - 1 6

Vamos encontrar o ângulo de rotação:

t g 2 θ = B A - C = - 6 3 7 - 13

t g 2 θ = 3

Então 2 θ só pode ser 60 ° . Logo, s e n 2 θ = 3 2 .

Passo 3

Show, já temos tudo que precisávamos! Vamos ver os invariantes.

A ' + C ' = 7 + 13 = 20 A ' - C ' = - 6 3 3 2 = - 12 F ' = - 1 6

Resolvendo o sistema das duas primeiras linhas, vamos encontrar A ' = 4 e C ' = 16 . Beleza, então já sabemos a equação da cônica no sistema x ' O y ' !

4 x ' 2 + 16 y ' 2 - 1 6 = 0

Dividindo tudo por 1 6 e passando o termo independente pro outro lado:

x ' 2 4 + y ' 2 = 1

Essa equação representa uma elipse!

Passo 4

Fazendo o esboço delas:

Resposta

x ' 2 4 + y ' 2 = 1

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Efetuar uma rotação nos eixos coordenados a fim de eliminar o termo x y . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema x ' O y ' obtido após a rotação. Esboçar o gráfico. 7 x 2 - 8 x y + y 2
Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico. 4 x 2 + 4 x y + y 2 + 5 5 x + 10 5 y + 5 = 0
Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico. 17 x 2 + 12 x y + 8 y 2 - 10 x + 20 y + 5 = 0
Determinar a equação reduzida referida ao sistema X O ' Y e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico. 7 x 2 - 8 x y + y 2 - 17 5 x + 11 5 y + 41 = 0
A equação representa uma cônica degenerada. Identificá-la e esboçar o gráfico, quando possível. x 2 + y 2 + 4 x y = 0