Enunciado

No Exercício 12, encontre uma decomposição em valores singulares de A.

A = 6 4 0 0 4 0

Passo 1

O primeiro passo é encontrar os autovalores da matriz

A T A = 6 0 4 4 0 0 6 4 0 0 4 0 = 52 24 24 16

O polinômio característico de A T A será,

λ 2 - 68 λ + 256 = 0

De modo que λ 1 = 64 e λ 2 = 4 , são aos seus autovalores

Passo 2

Devemos agora encontrar os valores singulares de A, que em ordem decrescente de tamanho são,

σ 1 = 64 = 8

σ 2 = 4 = 2

Passo 3

Próximo passo é encontrar os autovetores associados a cada um dos autovalores, utilizando as formas que já aprendemos anteriormente,

Autovetores associados a λ 1 = 64 :     2 1 ;

Autovetores associados a λ 2 = 4 :   - 0,5 1 ;

Passo 4

Agora vamos normalizar os autovetores que encontramos,

Para 2 1 , seu tamanho será igual a l = 2 2 + 1 2 = 2,2361

Normalizando o vetor, teremos que v 1 = 2 2,2361 1 2,2361 =   0,8944 0,4472  

Para - 0,5 1 , seu tamanho será igual a l = - 0,5 2 + 1 2 = 1 , 118

Normalizando o vetor, teremos que v 2 = - 0,5 1,118 1 1,118 = - 0,4472 0,8944

Resposta

Agora, só nos resta escrever as matrizes da decomposição em valores singulares de A, ou seja,

A = U Σ V T

Sendo,

Σ = σ 1 0 0 σ 2 0 0 =   8 0 0 2 0 0

V = v 1 ,   v 2 = 0,8944 - 0,4472 0,4472 0,8944

U = 0 , 8944 0,4472 0 0 0 1 0,4472 - 0,8944 0

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