Enunciado

Nos exercício de 23-26, seja T a multiplicação pela matriz A. Encontre

  1. Uma vase da imagem de T
  2. Uma base do núcleo de T
  3. O posto e a nulidade de T
  4. O posto e a nulidade de A

A = 4 1 5 2 1 2 3 0

Passo 1

Item A)

Temos a matriz A:

A = 4 1 5 2 1 2 3 0

Perceba que a terceira coluna pode ser adiquirida somando a primeira e terceira colunas. E a quarta coluna pode ser adquirida se somarmos a primeira com a segunda e subtrairmos a terceira coluna. Isso demonstra que a coluna três e quatro são combinações lineares da primeira e da segunda coluna;

As primeira e a segunda coluna são idependentes entre si, então elas formam a base do espaço coluna de A. Esse espaço coluna de A é igual a base da imagem de T

I m T = 4 1 1 2

Passo 2

Item B)

Agora vamos resolver o sistema:

A ⋅ x → = 0

4 1 5 2 1 2 3 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0

Resolvendo:

4 x 1 + x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 0

x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0

Se chamarmos x 3 de s e x 4 = t :

x 1 = - s - 4 t x 2 = - s + 2 t x 3 = s x 4 = 7 t

Isso forma a base do espaço nulo de A, que é o núcleo de T:

N u c T = - 1 - 1 1 0 s + - 4 2 0 7 t

Passo 3

O Posto de T é igual a dimensionalidade da base da imagem de T

P o s t o T = dim ⁡ I m T = dim ⁡ 4 1 1 2 = 2

A nulidade de T é igual a dimensão do núcleo de T:

N u l T = dim ⁡ N u c T = dim ⁡ - 1 - 1 1 0 s + - 4 2 0 7 = 2

Passo 4

O espaço coluna de A é bidimensional, então o posto é:

P o s t o A = 2

O espaço nulo de A é unidimensional, então a nulidade de A é?

N u l A = 2

Resposta

  1. I m T = 4 1 1 2
  2. N u c T = - 1 - 1 1 0 s + - 4 2 0 7
  3. P o s t o T = 2 e N u l T = 2
  4. P o s t o A = 2 e N u l A = 2
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