Enunciado

Nos exercício de 23-26, seja T a multiplicação pela matriz A. Encontre

  1. Uma vase da imagem de T
  2. Uma base do núcleo de T
  3. O posto e a nulidade de T
  4. O posto e a nulidade de A

A = 1 4 5 0 9 3 - 2 1 0 - 1 - 1 0 - 1 0 - 1 2 3 5 1 8

Passo 1

Item A)

Temos a matriz A:

A = 1 4 5 0 9 3 - 2 1 0 - 1 - 1 0 - 1 0 - 1 2 3 5 1 8

Vamos fazer a matriz triangular superior. Primeiro pegamos a primeira linha e utilizamos ela para zerar as demais:

1 4 5 0 9 0 - 14 - 14 0 - 28 0 4 4 0 8 0 - 5 - 5 1 - 10

A segunda e terceira linha são iguais, então podemos eliminar a terceira. Vamos aproveitar e dividir a segunda por - 14 , e a quarta linha por - 5

1 4 5 0 9 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2

Agora vamos pegar a segunda linha e subtrair na quarta linhas. Ainda com a segunda linha, vamos multiplica-la por 4 e subtrair na primeira linha:

1 0 1 0 1 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

E reorganizamos as linhas:

1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Agora perceba que a terceira e quinta colunas podem ser formadas por combinação linear da primeira e segunda coluna. Já a quarta coluna é independente.

As primeira, a segunda, e a quarta coluna são idependentes entre si, então elas formam a base do espaço coluna de A. Esse espaço coluna de A é igual a base da imagem de T

I m T = 1 3 - 1 2 4 - 2 0 3 0 0 0 1

Passo 2

Item B)

Agora vamos resolver o sistema:

A ⋅ x → = 0

1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 0 0 0 0

Resolvendo:

x 1 + x 2 + x 5 = 0 x 2 + x 3 + 2 x 5 = 0 x 4 = 0

Se chamarmos x 3 de s e x 5 de t :

x 1 = s + 3 t x 2 = - s - 2 t x 3 = s x 4 = 0 x 5 = t

Isso forma a base do espaço nulo de A, que é o núcleo de T:

N u c T = 1 - 1 1 0 0 s + 3 - 2 0 0 1 t

Passo 3

O Posto de T é igual a dimensionalidade da base da imagem de T

P o s t o T = dim ⁡ I m T = dim ⁡ 1 3 - 1 2 4 - 2 0 3 0 0 0 1 = 3

A nulidade de T é igual a dimensão do núcleo de T:

N u l T = dim ⁡ N u c T = dim ⁡ 1 - 1 1 0 0 s + 3 - 2 0 0 1 t = 2

Passo 4

O espaço coluna de A é tridimensional, então o posto é:

P o s t o A = 3

O espaço nulo de A é bidimensional, então a nulidade de A é?

N u l A = 2

Resposta

  1. I m T = 4 1 1 2
  2. N u c T = - 1 - 1 1 0 s + - 4 2 0 7
  3. P o s t o T = 3 e N u l T = 1
  4. P o s t o A = 3 e N u l A = 1
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