Enunciado

Nos exercícios 27-28, encontre uma matriz diagonal A que satisfaz a condição dada.

27. A - 2 = 9 0 0 0 4 0 0 0 1

Passo 1

Como vimos no exemplo 1 dessa seção, quando queremos calcular potências de matrizes diagonais, essa potência pode ser aplicada diretamente nos termos da diagonal principal.

Vamos supor uma matriz diagonal qualquer:

A = d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3

Aplicando a potência a essa matriz:

A - 2 = d 1 - 2 0 0 0 d 2 - 2 0 0 0 d 3 - 2

Agora podemos igualar essa matriz com a que é dada pelo enunciado:

d 1 - 2 0 0 0 d 2 - 2 0 0 0 d 3 - 2 = 9 0 0 0 4 0 0 0 1

Agora é só resolver essas 3 pequenas equações que surgiram:

Para d 1 :

d 1 - 2 = 9

Podemos elevar os dois lados a menos 1:

d 1 2 = 1 9

Tirando a raiz dos dois lados:

d 1 = 1 3

Para d 2 :

d 2 - 2 = 4

Novamente elevando a menos 1:

d 2 2 = 1 4

Tirando a raiz:

d 2 = 1 2

Para d 3 :

d 3 - 2 = 1

Elevando a menos um:

d 3 2 = 1

Tirando a raiz:

d 3 = 1

Portanto a matriz A é igual a:

A = 1 3 0 0 0 1 2 0 0 0 1

Resposta

A = 1 3 0 0 0 1 2 0 0 0 1

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