Enunciado

Nos exercícios 5-8, analise os circuitos elétricos dados encontrando as correntes desconhecidas.

Passo 1

A primeira coisa a fazer é analisar os nós, e montar as equações para eles.

Para o nó de cima da esquerda:

I 1 = I 2 + I 4

I 1 - I 2 - I 4 = 0

Nó de cima da direita:

I 4 = I 3 + I 5

- I 3 + I 4 - I 5 = 0

Nó de baixo da esquerda:

I 2 + I 6 = I 1

- I 1 + I 2 + I 6 = 0

Nó de baixo da direita:

I 3 + I 5 = I 6

I 3 + I 5 - I 6 = 0

Temos 4 equações e seis incógnitas, vamos tentar achar mais duas equações pela analise de malha.

Lembrando que quando temos uma corrente passando por um resistor, temos uma queda de tensão, ou seja, se nós estivermos percorrendo o ciruito pelo mesmo sentido da corrente teremos um valor de negativo para a tensão, já quando percorremos no sentido contrário da corrente teremos um valor positivo. Vamos percorrer a malha no sentido horário.

Para a malha da esquerda:

1 0 - 20 ⋅ I 1 - 20 ⋅ I 2 = 0

2 ⋅ I 1 + 2 ⋅ I 2 = 1

Para a malha da direita:

20 ⋅ I 3 + 10 - 2 0 ⋅ I 5 = 0

2 ⋅ I 3 - 2 ⋅ I 5 = - 1

Agora já temos as 6 equações que precisávamos:

I 1 - I 2 - I 4 = 0 - I 3 + I 4 - I 5 = 0 - I 1 + I 2 + I 6 = 0 I 3 + I 5 - I 6 = 0 2 ⋅ I 1 + 2 ⋅ I 2 = 1 2 ⋅ I 3 - 2 ⋅ I 5 = - 1

Vamos escrever o sistema na forma matricial:&

1 - 1 0 - 1 0 0 0 0 - 1 1 - 1 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 - 1 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 - 2 0 ⋅ I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 = 0 0 0 0 1 - 1

Escrevendo a matriz estendida:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 0 - 1 1 - 1 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 - 1 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 - 2 0 0 0 0 0 1 - 1

Passo 2

Agora é só resolver o sistema.

Substituindo a segunda linha pela quinta:

1 - 1 0 - 1 0 0 2 2 0 0 0 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 - 1 0 0 1 1 - 1 0 0 0 2 0 - 2 0 0 1 0 0 0 - 1

Somando - 2 vezes a primeira linha na segunda:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 4 0 2 0 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 - 1 0 0 1 1 - 1 0 0 0 2 0 - 2 0 0 1 0 0 0 - 1

Dividindo a segunda linha por 4:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 - 1 0 0 1 1 - 1 0 0 0 2 0 - 2 0 0 1 / 4 0 0 0 - 1

Substituindo a terceira linha pela quarta:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 - 1 0 0 0 2 0 - 2 0 0 1 / 4 0 0 0 - 1

Substituindo a quarta linha pela quinta:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 1 1 - 1 0 - 1 1 0 0 0 1 0 0 2 0 - 2 0 0 1 / 4 0 0 0 - 1

Somando - 1 vez a terceira linha na quarta:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 2 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 2 0 - 2 0 0 1 / 4 0 0 0 - 1

Somando a primeira linha na quinta:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 - 1 0 1 0 0 2 0 - 2 0 0 1 / 4 0 0 0 - 1

Somando a quarta linha na quinta:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 0 - 2 2 0 0 2 0 - 2 0 0 1 / 4 0 0 0 - 1

Dividindo a quinta linha por - 2 :

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 0 1 - 1 0 0 2 0 - 2 0 0 1 / 4 0 0 0 - 1

Somando - 2 vezes a terceira linha na ultima:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 - 4 2 0 1 / 4 0 0 0 - 1

Somando 4 vezes a quinta linha na ultima:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 - 2 0 1 / 4 0 0 0 - 1

Dividindo a ultima linha por - 2 :

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 1 0 1 / 4 0 0 0 1 / 2

Somando a ultima linha na quinta:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 / 4 0 0 1 / 2 1 / 2

Somando - 1 vez a ultima linha na quarta:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 / 4 0 - 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Somando 2 vezes a quinta linha na quarta:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 / 4 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Somando a ultima linha na terceira:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 / 4 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Somando - 1 vezes a quinta linha na terceira:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 / 4 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Somando - 1 / 2 vezes a quarta linha na segunda:

1 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Somando a quarta linha na primeira:

1 - 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 / 2 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2

E por fim, somando a segunda linha na primeira:

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 / 2 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Ou seja a solução do sistema é igual a:

I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 = 1 / 2 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2

Resposta

I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 = 1 / 2 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2

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