Enunciado

Nos Exercícios 7-10, encontre a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v dados.

9. u = 2 , 3 , 0 , v = ( - 1 , 2 , - 2 )

Passo 1

Para calcular a área de um paralelogramo, sabemos A = (base)⋅(altura) , porém como estamos tratando de vetores, podemos calcular a área do paralelogramo, obtendo a norma do produto vetorial entre dois vetores.

A = u  ×  v

Passo 2

Logo, vamos calcular logo separadamente o produto vetorial u  ×  v . vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores é calculado é definido por:

Sejam u = u 1 , u 2 , u 3 e v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) vetores, no espaço tridimensional, logo:

u  ×  v = u 2 v 3 - u 3 v 2   ,   u 3 v 1 - u 1 v 3   ,   u 1 v 2 - u 2 v 1

ou em notação de determinante,

u  ×  v = ( u 2 u 3 v 2 v 3 , - u 1 u 3 v 1 v 3   ,   u 1 u 2 v 1 v 2

Agora que sabemos como calcular, vamos fazer: u = 2 , 3 , 0 × v = ( - 1 , 2 , - 2 )

u  ×  v= 3 ⋅ ( - 2 ) - 0 ⋅ 2   ,   0 ⋅ ( - 1 ) - 2 ⋅ ( - 2 )   ,   2 ⋅ 2 - 3 ⋅ ( - 1 )

u  ×  v= - 6 - 0   ,   0 + 4   ,   4 + 3

u  ×  v= - 6   ,   4   ,   7

Passo 3

Como já encontramos o produto vetorial, podemos obter a área calculado a norma:

A = u  ×  v = - 6   ,   4   ,   7

A = - 6   ,   4   ,   7 = ( - 6 ) 2 + 4 2 + 7 2 = 36 + 16 + 49     = 101

Resposta

A = 101

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