Enunciado

Enconte um vetor ortogonal ao plano diferente de zero, através dos pontos P , Q e R . Encontre também a área do triângulo P Q R .

P 2 , - 3,4

Q - 1 , - 2,2

R 3,1 , - 3

Passo 1

Bom galera, gente tem os pontos:

P 2 , - 3,4

Q - 1 , - 2,2

R 3,1 , - 3

Vamos começar calculando vetores formados por esse ponto:

P Q = Q - P = - 1 , - 2,2 - 2 , - 3,4

P Q = - 3,1 , - 2

E o outro vetor:

P R = R - P = 3,1 , - 3 - 2 , - 3,4

P R = 1,4 , - 7

Passo 2

Beleza, pra encontrar um vetor ortogonal ao plano formado por aqueles pontos, basta a gente encontrar o produto vetorial, entre os dois vetores que encontramos:

P Q = - 3,1 , - 2

P R = 1,4 , - 7

Que pode ser calculado assim:

P Q × P R = det ⁡ i → j → k → - 3 1 - 2 1 4 - 7 = i → - 23 j → - 13 k →

Passo 3

Então, agora pra a gente calcular a área, por definição temos a formula:

A = 1 2 ( | D 1 | )

E D 1 é o determinante de uma matriz dos pontos, bem assim:

D 1 = det ⁡ x P y P z P x Q y Q z Q x R y R z R

Passo 4

Vamos montar a matriz e calcular o determinante:

D 1 = det ⁡ 2 - 3 4 - 1 - 2 2 3 1 - 3 = 19

Passo 5

E pra terminar, tá fácil agora, é só botar naquela fórmula lá:

A = 1 2 ⋅ 19

→ A = 1 2 ⋅ 19 = 9,5

Resposta

v = i → - 23 j → - 13 k →

A = 9,5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que, se E = p → ,q → ,r → é uma base ortonormal negativa, u → = a 1 ,b 1 ,c 1 E e v → = a 2 , b 2 ,c 2 E , então u → ∧ v → = - p → q → r → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2
Sejam u → = 1 ,1 ,1 B e v → = 0 ,1 ,2 B . Obtenha uma base ortonormal positiva a → ,b → ,c → tal que1. a → e u → sejam de mesmo sentido;2. b → seja combinação linear de u → e v → ;3. a primeira coorde
Calcule u → ∧ v → e - u → ∧ v → nos casos:a) u → = ( 6 ,- 2 ,- 4 ) , v → = ( - 1 ,- 2 ,1 ) ;b) u → = ( 7 ,0 ,- 5 ) , v → = ( 1 ,2 ,- 1 ) ;c) u → = ( 1 ,- 3 ,1 ) , v → = ( 1 ,1 ,4 ) ;d) u → = ( 2 ,1 ,2
O lado do hexágono regular representado na Figura 11-3 mede 2 . Calcule:a) A B → ∧ A F → b) A B → ∧ A C → c) A B → ∧ A D → d) A B → ∧ A E → e) A D → ∧ B E →
Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes e justifique sua resposta. a) Se G = a → ,b → ,c → é uma base ortonormal negativa, então a → ∧ b → = - c → b → ∧ c → = - a → c → ∧ a → =