Enunciado

Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:

f) 2 2 3 1 2 1 2 - 2 1

Passo 1

Encontrar autovalores e autovetores significar encontrar uma solução não trivial para a seguinte equação matricial:

A - λ I 3 X = 0 -

Vamos começar encontrando nosso polinômio característico, beleza?

Passo 2

Para isso precisamos calcular o determinante da seguinte matriz:

2 - λ 2 3 1 2 - λ 1 2 - 2 1 - λ

E igualar a zero, temos:

2 - λ 2 1 - λ + 4 - 6 - 6 2 - λ - 2 1 - λ + 2 2 - λ = 0 →

→ 4 - 4 λ + λ 2 1 - λ - 12 + 6 λ = 0 →

→ - λ 3 + 5 λ 2 - 2 λ - 8 = 0           ( 1 )

Beleza, as raízes deste polinômio, serão os nossos autovalores! Bora lá!

Passo 3

Para encontrar as raízes deste polinômio pode ser um pouco chato (se puder, faça computacionalmente), mas vamos aqui, tentar aplicar o método de Briot-Ruffini para diminuir o grau deste polinômio através de uma raiz conhecida e então teremos um polinômio de segundo grau como usualmente. Existem vários materiais no site com mais detalhes sobre o método, mas para esta questão podemos resumi-lo da seguinte forma:

Mas antes disso, precisamos encontrar ao menos 1 raiz! Vamos lá!

Passo 4

A maneira mais conveniente de fazer isso é chutando valores utilizando de certos critérios! O principal seria analisar o termo constante no polinômio característico, ou seja, -8, e testar os valores do qual este termo é múltiplo, sendo estes:

λ p = ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8

Precisamos aplicar todas elas em nosso polinômio característico (1), e ver se alguma delas é uma raiz! Faça o teste um a um se precisar, aqui vou apenas apresentar a que dá certo, beleza? No caso, temos que λ 1 = - 1 . Saca só!

- - 1 3 + 5 - 1 2 - 2 - 1 - 8 = 0 → 1 + 5 + 2 - 8 = 6 - 6 = 0

Belezinha, temos nossa primeira raiz! Vamos aplicar o método de redução de ordem!

Passo 5

Aplicando o procedimento que descrevi acima, utilizando a raiz conhecida λ 1 = - 1 , temos:

Portanto, temos que, o nosso polinômio reduzido é tal que

- λ 2 + 6 λ - 8 = 0           ( 2 )

Agora podemos aplicar Bhaskara para encontrar o restante de nossas raízes! Vamos lá!

Passo 6

Aplicando Bhaskara, temos:

λ + = - 6 + 6 2 - 32 - 2 = - 4 - 2 = 2

E para a segunda raiz, temos:

λ - = - 6 - 2 - 2 = - 8 - 2 = 4

Temos então todos os nossos autovalores, sendo eles λ 1 = - 1 , e λ + = 2 e λ - = 4 . Vamos achar os autovetores!

Passo 7

Para encontrar os autovetores temos que aplicar cada uma de nossas raízes individualmente na definição:

A - λ I 3 X = 0 -

Vamos começar com λ 1 = - 1 , temos:

3 2 3 1 3 1 2 - 2 2 x y z = 0 0 0

Realizando o produto matricial, temos:

3 x + 2 y + 3 z x + 3 y + z 2 x - 2 y + 2 z = 0 0 0

Temos aqui um sistema linear para os parâmetros do autovetor, vamos escalonar a matriz dos coeficientes para obter o resultado, tudo bem?

Passo 8

Primeiro passo é escrever nossa matriz como:

3 2 3 1 3 1 2 - 2 2

Para criar o pivô, divida a primeira linha por 3, temos:

1 2 / 3 1 1 3 1 2 - 2 2

Agora, para eliminar o restante da coluna do pivô, subtraia a primeira linha da segunda e também subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira, obtendo:

1 2 / 3 1 0 4 / 3 0 0 - 10 / 3 0

Agora, vamos seguir deixando o próximo termo diagonal igual a 1, temos que multiplicar a segunda linha por ¾, temos:

1 2 / 3 1 0 1 0 0 - 10 / 3 0

Para eliminar o restante da segunda coluna vamos subtrair a 3/2 da segunda linha da primeira, e somar 3/10 da segunda linha na terceira, obtendo:

1 0 1 0 1 0 0 0 0

Temos então que a solução do nosso sistema é tal que:

x + z = 0 → x = - z

e

y = 0

Nosso primeiro vetor então é da forma V 1 = ( α , 0 , - α ) , em α é um valor real qualquer. Vamos achar nosso segundo autovetor!

Passo 9

Agora com λ + = 2 , temos:

0 2 3 1 0 1 2 - 2 - 1 x y z = 0 0 0

Realizando o produto matricial, temos:

2 y + 3 z x + z 2 x - 2 y - z = 0 0 0

Temos aqui um sistema linear para os parâmetros do autovetor, vamos escalonar a matriz dos coeficientes para obter o resultado, tudo bem?

Passo 10

Primeiro passo é escrever nossa matriz como:

0 2 3 1 0 1 2 - 2 - 1

Para criar o pivô, vamos trocar a segunda linha com a primeira, temos

1 0 1 0 2 3 2 - 2 2

Agora, para eliminar o restante da coluna do pivô, subtraia duas vezes a primeira linha da terceira, obtendo:

1 0 1 0 2 3 0 - 2 0

Agora, vamos seguir deixando o próximo termo diagonal igual a 1, temos que dividir a segunda linha por 2:

1 0 1 0 1 3 / 2 0 - 2 0

Para eliminar o restante da segunda coluna vamos somar a 2 vezes a segunda linha na terceira obtendo:

1 0 1 0 1 3 / 2 0 0 0

Temos então que a solução do nosso sistema é tal que:

x + z = 0 → x = - z

e

y + 3 2 z = 0 → y = 3 2 x

Nosso segundo vetor então é da forma V 2 = ( α , 3 2 α , - α ) , em α é um valor real qualquer. Vamos achar o nosso último autovetor!

Passo 11

Usando λ - = 4 , temos:

- 2 2 3 1 - 2 1 2 - 2 - 3 x y z = 0 0 0

Realizando o produto matricial, temos:

- 2 x + 2 y + 3 z x - 2 y + z 2 x - 2 y - 3 z = 0 0 0

Temos aqui um sistema linear para os parâmetros do autovetor, vamos escalonar a matriz dos coeficientes para obter o resultado, tudo bem?

Passo 12

Primeiro passo é escrever nossa matriz como:

- 2 2 3 1 - 2 1 2 - 2 - 3

Para criar o pivô, divida a primeira linha por -2, temos:

1 - 1 - 3 / 2 1 - 2 1 2 - 2 - 3

Agora, para eliminar o restante da coluna do pivô, subtraia a primeira linha da segunda e também subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira, obtendo:

1 - 1 - 3 / 2 0 - 1 5 / 2 0 0 0

Agora, vamos seguir deixando o próximo termo diagonal igual a 1, temos que multiplicar a segunda linha por -1, temos:

1 - 1 - 3 / 2 0 1 - 5 / 2 0 0 0

Para eliminar o restante da segunda coluna vamos somar a segunda linha na primeira, temos:

1 0 - 4 0 1 - 5 / 2 0 0 0

Temos então que a solução do nosso sistema é tal que:

x - 4 z = 0 → x = 4 z

e

y - 5 2 z = 0 → y = 5 8 x

Nosso último vetor então é da forma V 3 = ( α , 5 8 α , 1 4 α ) , em α é um valor real qualquer. Com esse último autovetor, acabamos a questão! É isso aí! Te vejo na próxima! Tchau Tchau

Resposta

Ao longo dos passos!

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