Enunciado

8. Identificar a superfície S e a sua interseção com o plano π dado. Representar graficamente esta interseção no plano π .

d )   S : x 2 4 - y 2 8 - z 2 16 = 1       e       π : x = 2

Passo 1

FALÁ! Tudo bom, contigo?

Bem, eu não sei se você reparou, mas essa equação que o problema nos pede para identificar... Hmmmm! Não sei não, heim? Mas ela me parece com a equação de um hiperbolóide!

Será que é verdade isso? Venha comigo para você saber .

Passo 2

Bem! Sabemos que a equação de um hiperbolóide tem que ser algo do tipo:

± x 2 a 2 ± y 2 b 2 ± z 2 c 2 = 1

A nossa equação é assim:

x 2 4 - y 2 8 - z 2 16 = 1 →

x 2 2 2 - y 2 2 2 2 - z 2 4 2 = 1

ORA! Da teoria do nosso livro, se temos uma sequência de sinais do tipo +   -   - , então é porque estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas!

Passo 3

Para encontrar a tal da intersecção com o nosso plano π , basta resolver o sistema:

S : x 2 2 2 - y 2 2 2 2 - z 2 4 2 = 1     π : x = 2

Substituindo z = 1 na equação de S ...

2 2 2 2 - y 2 2 2 2 - z 2 4 2 = 1   →

1 - y 2 2 2 2 - z 2 4 2 = 1   →

- y 2 2 2 2 - z 2 4 2 = 0   →

z 2 4 2 = - y 2 2 2 2

OPA! O único valor possível para a solução dessa equação é se z for 0 e y também for 0 ! Portanto, no plano y z a solução da intercecção do plano π com a superfície S é um ponto: a origem...

Resposta

Equação representa um hiperboloide de duas folhas. Intersecção é um ponto (a origem):

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quadrática que ela representa. 36 x 2 + 9 y 2 - 4 z 2 = 36
Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quadrática que ela representa. x 2 + y 2 - 9 z = 0
Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quadrática que ela representa. 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 = 36
Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quadrática que ela representa. x 2 + y 2 + z 2 = 36
Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quadrática que ela representa. x 2 - y 2 + 2 z 2 = 4