Enunciado

Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é:

9 x 2 + 16 y 2 + 25 z 2 + 24 x y - 40 x + 30 y = 0

Passo 1

Aqui a gente tá com x , y e z , todos juntos e misturados, então estamos diante de uma quádrica! A primeira coisa que temos que fazer é escrever essa equação na forma matricial. Toma cuidado, porque agora tem termos lineares também!

9 x 2 + 16 y 2 + 25 z 2 + 24 x y - 40 x + 30 y = 0

x y z 9 12 0 12 1 6 0 0 0 2 5 x y z + - 40 30 0 x y z = 0

Passo 2

A próxima missão é calcular os autovalores e autovetores da matriz!

M = 9 12 0 12 16 0 0 0 25

det ⁡ M - λ I = 9 - λ 12 0 12 16 - λ 0 0 0 25 - λ = 9 - λ 16 - λ 25 - λ - 144 ( 25 - λ )

Desenvolvendo, vamos obter:

det ⁡ M - λ I = λ 25 - λ 2

Desse jeito já dá pra ver as duas raízes! Tem λ = 0 e λ = 25 , mas o 25 é em dobro!

Vamos substituir esses valores pra encontrar os autovetores.

λ = 0 :   9 12 0 12 16 0 0 0 25 x y z = 0 0 0 → 9 x + 12 y = 0 25 z = 0

Então vamos encontrar x = - 4 y 3 , e z = 0 .

v = ( - 4 ,   3 ,   0 )

λ = 25 :   - 16 12 0 12 - 9 0 0 0 0 x y z = 0 0 0

Então daqui vamos tirar dois autovetores: o primeiro é ( 4 ,   3 ,   0 ) , atendendo as duas primeiras equações. O terceiro, que é ortogonal aos outros dois primeiros, vai ser o ( 0 ,   0 ,   1 ) . Não pode esquecer de normalizar os autovetores!

Passo 3

Trocando a equação matricial pelo novo referencial, usando a matriz dos autovalores. Tanto faz a ordem que escolhermos! Isso só vai mudar em qual eixo vão estar as coisas, mas como só queremos caracterizar a quádrica, não faz mal.

x ' y ' z ' 0 0 0 0 25 0 0 0 25 x ' y ' z ' + - 40 30 0 - 4 5 3 5 0 3 5 4 5 0 0 0 1 x ' y ' z ' = 0

25 y ' 2 + 25 z ' 2 + 50 0 0 x ' y ' z ' = 0

25 y ' 2 + 25 z ' 2 + 50 x ' = 0

y ' 2 + z ' 2 + 2 x ' = 0

Essa equação representa a quádrica em relação ao nosso novo referencial ( x ' ,   y ' , z ' ) . Ela é um parabolóido elíptico, que tinha como centro o ponto 0 , 0 ,   0 , e eixos na direção de - 4 3 , 3 5 , 0 , 3 5 , 4 5 , 0 e ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Resposta

Parabolóide elíptico:

y ' 2 + z ' 2 + 2 x ' = 0

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