Enunciado

Identifique a figura. Não é necessário dar a posição.

3 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 2 x z = 0

Passo 1

Pra essa questão, vamos precisar só identificar qual é a figura, então não vamos calcular os autovetores para achar a posição da quádrica. Então bora lá! Vamos começar escrevendo a equação na forma matricial.

3 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 2 x z = 0

x y z 3 0 1 0 2 0 1 0 3 x y z = 0

Passo 2

A próxima missão é calcular os autovalores da matriz!

M = 3 0 1 0 2 0 1 0 3

det ⁡ M - λ I = 3 - λ 0 1 0 2 - λ 0 1 0 3 - λ = 2 - λ 3 - λ 2 - ( 2 - λ )

det ⁡ M - λ I = - λ 3 + 8 λ 2 - 20 λ + 16

det ⁡ M - λ I = - λ - 2 2 λ - 4

Daí já temos os autovalores: λ = 4 , e λ = 2 , com multiplicidade 2 .

Passo 3

Trocando a equação matricial pelo novo referencial, usando a matriz dos autovalores. Tanto faz a ordem que escolhermos! Isso só vai mudar em qual eixo vão estar as coisas, mas como só queremos caracterizar a quádrica, não faz mal.

x ' y ' z ' 4 0 0 0 2 0 0 0 2 x ' y ' z ' = 0

4 x ' 2 + 2 y ' 2 + 2 z ' 2 = 0

Arrumando,

2 x ' 2 + y ' 2 + z ' 2 = 0

Essa equação representa a quádrica em relação ao nosso novo referencial ( x ' ,   y ' , z ' ) . Ela pode parecer um elipsoide a principio, mas tá vendo que tem três quadrados somados dando 0 ? Isso só tem uma solução: ( 0 ,   0 ,   0 ) . Por isso, a equação representa um único ponto!

Resposta

Único ponto.

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Por uma conveniente translação de eixos, transformar a equação na forma reduzida e identificar a quádrica que ela representa. 3 x 2 + 4 y 2 + 24 x - 8 y + 24 z + 100 = 0
Identifique a figura. Não é necessário dar a posição. y 2 + 2 z 2 + 2 3 y z = 0
Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é: x y + x + y = 0
Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é: 9 x 2 + 16 y 2 + 25 z 2 + 24 x y - 40 x + 30 y = 0