Enunciado

Identifique a quádrica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 2 x y + z = 0

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da quádrica tiramos que:

a = 0

b =   0

c = 0

d = 2

e = 0

f =   0

Portanto:

A =   a d / 2 e / 2 d / 2 b f / 2 e / 2 f / 2 c = 0 1 0 1 0 0 0 0 0

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 3 = 0 - λ 1 0 1 0 - λ 0 0 0 0 - λ =   - λ 3 + λ

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 0

λ 2 = 1

λ 3 = - 1

Passo 3

Para determinarmos o vetor U .

Precisamos que:

A - 0 I 3 X   = 0 →

0 1 0 1 0 0 0 0 0 x y z = 0 0 0

y = 0

x = 0

Solução Geral:

W 1 = 0,0 , α ; α ∈ R

Para determinarmos o vetor T .

Precisamos que:

A - 1 I 3 X   = 0 →

- 1 1 0 1 - 1 0 0 0 - 1 x y z = 0 0 0

- x + y = 0

x = y

W 2 = α , α , 0 ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de W 1 vale 1:

W 1 = 1

W 1 2 = 1

α 2 = 1

α =   ± 1

Como a norma de W 2 vale 1:

W 2 = 1

W 2 2 = 1

α 2 + α 2 =   1

α =   ± 1 2  

Assim, os eixos deslocados U, T e U’ valem:

U = 0,0 ,   1

T = ( 1 2 , 1 2 , 0 )

U ' = U   x   T = ( - 1 2 , 1 2 , 0 )

P = 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 1 0 0

Passo 5

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa quádrica:

Q : 2 x y + z = 0 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + λ 3 z 1 2 + x 1 = 0

Q : y 1   2 - z 1 2 + x 1 = 0

Equação de um parabolóide hiperbólico.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

Q : y 1   2 - z 1 2 + x 1 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que, se a ,b ,c não são todos iguais, a equação x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 + z - l 2 c 2 = 1 descreve um hiperboloide.
Prove que a quádrica Ω :- x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 é um hiperboloide de uma folha. Faça um esboço.
Os hiperboloides de equações x 2 / a 2 + y 2 / a 2 - z 2 / c 2 = 1 e - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 a 2 = 1 são chamados hiperboloides de rotação. Por que?
Se a = b ≠ c ou a = c ≠ b , ou b = c ≠ a , o elipsoide Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 é chamado de elipsoide de rotação. Dê uma explicação intuitiva para isso.
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y