Enunciado

Identifique a quádrica descrita pela equação dada.

(d) y 2 + 2 y z + z 2 + y - z - 2 = 0

Passo 1

Bom, vamos dar uma olhada nessa equação:

y 2 + 2 y z + z 2 + y - z - 2 = 0

O nosso problema aqui é encontrar a equação reduzida.

Logo de cara aparece um problema: y z aparecem multiplicando um ao outro! Precisamos dar um jeito nisso.

A melhor forma de resolver esse tipo de problema é aplicando uma mudança de coordenadas.

Quando queremos nos livrar de termos do tipo a y z , é melhor usar uma rotação de coordenadas.

Passo 2

Como o nosso problema só está nas variáveis y e z , vamos fazer uma rotação no plano y z , ou seja, em torno do eixo x :

E vamos lembrar da matriz de rotação, que é uma forma fácil de lembrar como fica essa rotação.

No nosso caso, x e z são o resultado de uma rotação de u e w por um ângulo θ no sentido anti-horário:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ v w = y z

Essa matriz faz justamente isso: rotacionar as coordenadas por um ângulo θ no sentido anti-horário.

Multiplicando aquelas matrizes, encontramos o seguinte:

v cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ v sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ = y z

Beleza, agora vamos substituir essas expressões de x e y na equação lá de cima:

y = v cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ

z = v sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ

Passo 3

Voltando na nossa equação:

y 2 + 2 y z + z 2 + y - z - 2 = 0

E então substituindo:

y 2 = v cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ 2 = v 2 cos 2 ⁡ θ - 2 v w sen ⁡ θ cos ⁡ θ + w 2 sen 2 ⁡ θ

z 2 = v sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ 2 = v 2 sen 2 ⁡ θ + 2 v w sen ⁡ θ cos ⁡ θ + w 2 cos 2 ⁡ θ

E o produto dos dois:

2 y z = v cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ v sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ

2 y z = 2 v 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + w v cos 2 ⁡ θ - w v sen 2 ⁡ θ - w 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Agora vamos lembrar e algumas identidades trigonométricas:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

E com isso as equações ali de cima vão se simplificar um pouco:

y 2 = v 2 cos 2 ⁡ θ - v w sen ⁡ 2 θ + w 2 sen 2 ⁡ θ

z 2 = v 2 sen 2 ⁡ θ + v w sen ⁡ 2 θ + w 2 cos 2 ⁡ θ

2 y z = v 2 - w 2 sen ⁡ 2 θ + 2 w v   cos ⁡ 2 θ

Tá, e quando a gente somar isso tudo vamos poder agrupar vários termos:

y 2 + 2 y z + z 2

v 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + w 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + v 2 - w 2 sen ⁡ 2 θ + 2 w v   cos ⁡ 2 θ

Lembrando que sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , então:

v 2 + w 2 + v 2 - w 2 sen ⁡ 2 θ + 2 w v   cos ⁡ 2 θ

Passo 4

Ok, simplificamos bastante, mas agora temos que definir um valor para o θ . Ainda falando só daquele trecho da equação:

y 2 + 2 y z + z 2

v 2 + w 2 + v 2 - w 2 sen ⁡ 2 θ + 2 w v   cos ⁡ 2 θ

Nossa ideia é sumir com esse termo que tem o produto w v , então temos que fazer aquele cosseno zerar!

cos ⁡ 2 θ = 0

A melhor forma de fazer isso é lembrar que o cosseno de π / 2 é 0 , então:

2 θ = π 2

θ = π 4

Agora olha o que acontece quando substituímos:

v 2 + w 2 + v 2 - w 2 sen ⁡ 2 π 4 + 2 w v   cos ⁡ 2 π 4

Como previsto, o cosseno vai zerar, e o seno:

sen ⁡ 2 π 4 = sen ⁡ π 2 = 1

Então:

v 2 + w 2 + v 2 - w 2 1 + 2 w v   0

v 2 + w 2 + v 2 - w 2

2 v 2

Passo 5

O próximo passo é olhar para a equação toda:

y 2 + 2 y z + z 2 + y - z - 2 = 0

Esses três primeiros termos nós já resolvemos. A nossa mudança de coordenadas deixa eles bem mais simples:

y 2 + 2 y z + z 2 = 2 v 2

Com isso:

2 v 2 + y - z - 2 = 0

Substituindo o restante dos termos:

2 v 2 + v cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ - v sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ - 2 = 0

2 v 2 + v cos ⁡ θ - sen ⁡ θ - w sen ⁡ θ + cos ⁡ θ = 2

Lembrando de uma propriedade bem útil do θ = π / 4 :

cos ⁡ π 4 = sen ⁡ π 4 = 2 2

Então:

2 v 2 + v 2 2 - 2 2 - w 2 2 + 2 2 = 2

2 v 2 - 2 w = 2

Dividindo tudo por 2 :

v 2 = 2 2 w + 1

Que é a equação de uma quádrica cônica parabólica!

Resposta

A equação é uma quádrica cilíndrica parabólica.

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