Enunciado

Mostre que a interseção de um plano b y + c z + d = 0 , em que b 2 + c 2 = 1 , com o cone x 2 + y 2 = z 2 é uma cônica que pode ser uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. (Sugestão: mude para um sistema de coordenadas {   O ,     U 1 ,   U 2 ,   U 3 } tal que U 1 = i → = 1,0 , 0 ,   U 2 = 0 , b , c   e   U 3 = ( 0 , - c , b ) .

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nessa questão ele pede para mostrarmos que a interseção de um plano b y + c z + d = 0 , em que b 2 + c 2 = 1 , com o cone x 2 + y 2 = z 2 é uma cônica que pode ser uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. (Sugestão: mude para um sistema de coordenadas {   O ,     U 1 ,   U 2 ,   U 3 } tal que U 1 = i → = 1,0 , 0 ,   U 2 = 0 , b , c   e   U 3 = ( 0 , - c , b ) .

Só vem comigo!!

Passo 2

Sabendo que,

b y + c z + d = 0

b 2 + c 2 = 1

x 2 + y 2 = z 2

Tendo que ele sugere que mude para um sistema de coordenadas {   O ,     U 1 ,   U 2 ,   U 3 } tal que U 1 = i → = 1,0 , 0 ,   U 2 = 0 , b , c   e   U 3 = ( 0 , - c , b ) .

Montando o polinômio temos que,

Q B = U 1 U 2 U 3 →   a ' 0 0 0 b ' 0 0 0 c ' = [ a ' U 1 b ' U 2 c ' U 3 ]

i j k i j 1 0 0 1 0 0 b - c 0 b 0 c b 0 c → b 2 + c 2 i → + 0 j → + 0 k →

Ficando,

b 2 + c 2 = 1

Espero ter ajudado, bons estudos e até a próxima.

Resposta

b 2 + c 2 = 1

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