Enunciado

Numa ilha maravilhosa verificou-se que a cor azul ocorre em borboletas de genótipo a a , e não ocorre em A a e A A . Suponha que a proporção de borboletas azuis seja 1 4 . Depois de algumas gerações, qual será a porcentagem, das borboletas não azuis, mas capazes de ter filhos azuis?

Passo 1

Vamos usar d como dominante, r como recessivo e h como hibrido nas linhas, e vamos colocar os cruzamentos com suas probabilidades nas colunas, vamos montar a matriz transição:

1 0 0 0 0 1 0 1 0         0,5 0 0,25 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,25

Agora vamos aplicar o Teorema 1.5 . 4 , que diz que se a matriz quadrada das probabilidades de transição é regular, ou seja, pois ela tem todos os elementos estritamente positivos, então é possível fazer que quaisquer que sejam as probabilidades iniciais, as probabilidades a longo prazo são dadas por:

p d 2 p h 2 p r 2 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0         0,5 0 0,25 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,25 ⋅ p d 1 ⋅ p d 1 p r 1 ⋅ p r 1 2 ⋅ p d 1 ⋅ p r 1 2 ⋅ p d 1 ⋅ p h 1 2 ⋅ p r 1 ⋅ p h 1 p h 1 ⋅ p h 1

Aqui temos que p d 1 é a porcentagem de indivíduos dominantes que tem valor de 0,25 , p h 1 é a porcentagem de indivíduos híbridos com valor 0,5 e p r 1 é a porcentagem de indivíduos recessivos de valor 0,25 .

Substituindo os valores vamos ter:

p d 2 p h 2 p r 2 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0         0,5 0 0,25 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,25 ⋅ 0,25 ⋅ 0,25 0,25 ⋅ 0,25 2 ⋅ 0,25 ⋅ 0,25 2 ⋅ 0,25 ⋅ 0,5 2 ⋅ 0,25 ⋅ 0,5 0,5 ⋅ 0,5

Resolvendo a multiplicação vamos ter:

p d 2 p h 2 p r 2 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0         0,5 0 0,25 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,25 ⋅ 0,25 ⋅ 0,25 0,25 ⋅ 0,25 2 ⋅ 0,25 ⋅ 0,25 2 ⋅ 0,25 ⋅ 0,5 2 ⋅ 0,25 ⋅ 0,5 0,5 ⋅ 0,5 =

= 1 0 0 0 0 1 0 1 0         0,5 0 0,25 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,25 ⋅ 0 , 0625 0,0625 0,12 5 0,25 0,25 0,25 =

= 1 ⋅ 0,0625 + 0 ⋅ 0,0625 + 0 ⋅ 0,125 + 0,5 ⋅ 0,25 + 0 ⋅ 0,25 + 0,25 ⋅ 0,25 0 ⋅ 0,0625 + 0 ⋅ 0,0625 + 1 ⋅ 0,125 + 0,5 ⋅ 0,25 + 0 , 5 ⋅ 0,25 + 0,5 ⋅ 0,25 0 ⋅ 0,0625 + 1 ⋅ 0,0625 + 0 ⋅ 0,125 + 0 ⋅ 0,25 + 0 , 5 ⋅ 0,25 + 0,25 ⋅ 0,25 =

= 0,25 0,5 0,25

Resposta

p d 2 p h 2 p r 2 = 0,25 0,5 0,25

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