Enunciado

Se A ou B é uma matriz não inversível, então A ∙ B também não é. Prove isto, sem usar determinantes.

Passo 1

Essa questão fica bastante simples se a gente assumir que A B é inversível. Então seja C essa inversa.

Da definição, a gente tem:

A B C = I n

Das propriedades do produto de matriz, a gente tem:

A B C = I n

Mas B C   é uma matriz n × n tal que A multiplicada por ela resulta na matriz identidade, o que isso significa? Isso mesmo, que B C é a inversa de A .

Mas foi dado que A não é inversível, então temos um absurdo e A B não pode ser inversível.

Resposta

Demonstração.

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