c) Se A e uma matriz tal A^2 = 0 , então A = 0? Justifique. Passo 1Primeiramente, desenvolvendo a primeira igualdade: A^2 = A * A = 0 A^2 = [[[[[[[a_11,a_12]]],[[[a_21,a_22]]]],[[cdots],[cdots]],[[a_1 n],[a_2 n]]],[[[,,vdots,,]],cdots,vdots],[[[a_n 1,a_n 2]],cdots,a_n n]]] * [[[[[[[a_11,a_12]]],[[[a_21,a_22]]]],[[cdots],[cdots]],[[a_1 n],[a_2 n]]],[[[,,vdots,,]],cdots,vdots],[[[a_n 1,a_n 2]],cdots,a_n n]]] = 0 Passo 2Agora, desenvolvendo o produto matricial: [[[[[[[a_11,a_12]]],[[[a_21,a_22]]]],[[cdots],[cdots]],[[a_1 n],[a_2 n]]],[[[,,vdots,,]],cdots,vdots],[[[a_n 1,a_n 2]],cdots,a_n n]]] * [[[[[[[a_11,a_12]]],[[[a_21,a_22]]]],[[cdots],[cdots]],[[a_1 n],[a_2 n]]],[[[,,vdots,,]],cdots,vdots],[[[a_n 1,a_n 2]],cdots,a_n n]]] = 0 [[[[[[[a_11,a_11,+,...,+,a_1 n,a_n 1,a_11,a_12,+,...,+,a_1 n,a_n 2]]],[[[a_21,a_11,+,...,+,a_2 n,a_n 1,a_21,a_12,+,...,+,a_2 n,a_n 2]]]],[[cdots],[cdots]],[[a_11,a_1 n,+,...,+,a_1 n,a_n n],[a_21,a_1 n,+,...,+,a_2 n,a_n n]]],[[[,vdots,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]],cdots,vdots],[[[a_n 1,a_11,+,...,+,a_n n,a_n 1,a_n 1,a_12,+,...,+,a_n n,a_n 2]],cdots,a_n 1,a_1 n,+,...,+,a_n n,a_n n]]] = 0 Ou seja, cada somatório é igual a 0. No entanto, é possível que isso aconteça sem que todos os elementos da matriz sejam iguais a 0. Passo 3Para exemplificar o que foi dito, tomemos a matriz: A = [[[0,0],[1,0]]] A^2 = A * A = [[[0,0],[1,0]]] * [[[0,0],[1,0]]] [[[0,0],[1,0]]] * [[[0,0],[1,0]]] = [[[0,*,0,+,0,*,1,0,*,0,+,0,*,0],[1,*,0,+,0,*,1,1,*,0,+,0,*,0]]] [[[0,*,0,+,0,*,1,0,*,0,+,0,*,0],[1,*,0,+,0,*,1,1,*,0,+,0,*,0]]] = [[[0,0],[0,0]]] A^2 = [[[0,0],[0,0]]] , para A != [[[0,0],[0,0]]] . RespostaNão necessariamente. É possível que A^2 = [[[0,0],[0,0]]] para uma matriz A != [[[0,0],[0,0]]] . MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios de Livros RelacionadosFaça o balanceamento das reações:(N H_4) C O_3 - N H_3 + H_2 O + C O_2Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade ( 1 g) determinou-se que:O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.O alimento II Altamente motivado pelos Exercícios 20 e 21 , mostre que toda matriz-solução de um sistema linear A X = B é a soma de uma solução do sistema homogêneo associado A X = 0 . Sugestão: siga as etapas seguSabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades de vitamina A , 180 unidades de vitamina B , 140 unidades de vitamina C , 180 unidades de vitamina D e 350 unidConsidere o sistema x + 6 y - 8 z = 1 2 x + 6 y - 4 z = 0 Note que podemos escrevê-lo na forma matricial * 1 6 - 8 2 6 - 4 x y z = 1 0 Verifique que a matriz X 1 = x y z = 1 1 3 0 é uma solução para oVer TambémVer tudo sobre Matrizes e Sistemas LinearesLista de exercícios de Análise da Multiplicação de MatrizesVer exercício 1.1 - 5Ver exercício 1.2 - 3a