Enunciado

Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .

Passo 1

Fala ae, blz?

Para resolver essa questão temos que satisfazer a equação A - λ I n . X = 0 → para λ = 1   e   2 .

Para λ = 1 .

A 4 x 4 é uma matriz 4 x 4 e X n x 1 é uma matriz n x 1 .

Para podermos utilizar a propriedade multiplicativa de matrizes, devemos assegurar que o n° de colunas de A 4 x 4 seja igual ao n° de linhas de X n x 1 .

Portanto, n = 4 .

Sendo n = 4 , temos I n = I 4 .

Substituindo na equação (A − λIn).X = 0 → .

  2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 1 1 0 0 0 1 - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Temos:

1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 0 1 0 0 0 0 . x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Multiplicando linha por coluna, chegamos a um sistema linear:

x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0 x 4 = 0 0 = 0

L 3 : x 4 = 0   → x 4 = 0

L 2 : x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0   → x 2 = - 3 x 3

L 1 :   x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 +   4 x 4 = 0   → x 1 = 3 x 3

w 1 = 3 x 3 - 3 x 3 x 3 0 ; x 3   ∈   R

Passo 2

Temos que satisfazer a equação A - λ I n . X = 0 →

Para λ = 2

Já vimos que n = 4 e I n = I 4

Substituindo na equação (A − λIn).X = 0 → .

  2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 1 1 0 0 0 1 - 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Temos:

0 2 3 4 0 0 3 2 0 0 - 1 3 0 0 0 - 1 . x 1 x 2 x 3 x 4 =   0 0 0 0

Multiplicando linha por coluna, chegamos a um sistema linear:

2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 3 x 3 + 2 x 4 = 0 - x 3 + 3 x 4 = 0 - x 4 = 0

L 4 : - x 4 = 0  

L 3 : - x 3 + 3 x 4 = 0   → x 3 = 0

L 1 :   2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0   → x 2 = 0

w 2 = x 1 0 0 0 ; x 1   ∈   R

Resposta

w 1 = 3 x 3 - 3 x 3 x 3 0 ; x 3   ∈   R

w 2 = x 1 0 0 0 ; x 1   ∈   R

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