Enunciado

Mostre que se A for uma matriz quadrada tal que A k = 0 , com algum inteiro positivo k , então a matriz I - A é invertível e

I - A - 1 = I + A + A 2 + ⋯ + A k - 1

Passo 1

Bom pessoal, se ( I - A ) é invertível e I - A - 1 = I + A + A 2 + ⋯ + A k - 1 então

I - A I + A + A 2 + ⋯ + A k - 1 ⏝ I - A - 1 = I

E abrindo o produto do lado esquerdo temos que

I - A I + A + A 2 + ⋯ + A k - 1 = I + A + A 2 + ⋯ + A k - 1 - A - A 2 - ⋯ - A k - 1 - A k ⇒

I - A I + A + A 2 + ⋯ + A k - 1 = I - A k

Mas como A k = 0 , para algum k , temos que

I - A I + A + A 2 + ⋯ + A k - 1 = I - A k ⏝ 0 = I

Logo

I - A I + A + A 2 + ⋯ + A k - 1 = I

Então ( I - A ) é invertível e I - A - 1 = I + A + A 2 + ⋯ + A k - 1

Resposta

Demonstração

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