Enunciado

Mostre que se B for obtida de A por meio de uma sequência de operações elementares com linhas, então existe uma segunda sequência de operações elementares com linhas aplicada a B , produz A .

Passo 1

Show de boletas, a gente sabe que pra uma matriz ser equivalente por linhas a outra, ela precisa através de operações elementares assumir a forma da matriz em questão, e essas operações elementares podem ser representadas por matrizes elementares.

Passo 2

Sabendo disso, suponha que nossa matriz B seja

B = M ⏝ m a t r i z   q u e   r e p r e s e n t a   a s   o p e r a ç õ e s   r e a l i z a d a s   e m   A × A

Onde M é a matriz que representa todas as operações elementares que aplicamos em B para que ela se torne B .

Passo 3

Como M representa uma sequência de operações elementares, essas operações podem ser desfeitas, isto é, tudo que a matriz M fez em A ela pode desfazer, e essa operação a gente conhece né!! É a função inversa, só que na ordem das matrizes a função inversa é a matriz inversa, isso quer dizer que M é uma matriz invertível. Dessa forma, temos que

B = M A ⇒ M - 1 B = M - 1 M ⏝ I A ⇒

⇒ A = M - 1 B

Logo, existe sim uma segunda sequência de operações que aplicadas a B , produz A , e essa sequência é representada pela matriz inversa da matriz que representava a primeira sequência.

Resposta

Demonstração

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